Формула И.В. Мещерского с именем К.Э. Циолковского
Итак, претендуя на изобретение межпланетной космической ракеты, К.Э. Циолковский должен был математически доказать ее способность преодолеть притяжение Земли, совершить космический полет и вернуться обратно.
В противном случае его идея была бы просто гипотезой, для превращения которой в изобретение предстоял еще долгий путь.
В настоящем разделе мы попытаемся понять в какой степени ему удалось решить эту задачу, каков был уровень его работ по ракетодинамике и какие ему принадлежат здесь приоритеты.
Сначала, конечно, остановимся на первой задаче ракетодинамики, носящей имя К.Э. Циолковского, так же как и полученная конечная формула и входящее в нее одно число.
Предполагая, что ракета летит в свободном пространстве, т.е. она не испытывает ни силы гравитации, ни сопротивления атмосферы и что скорость истечения продуктов сгорания относительно ракеты постоянна (это было его молчаливое предположение), он составляет следующее уравнение, исходя из закона сохранения количества движения:
dV (M 1 + M) =V 1 dM ; (1)
где М – запас топлива на ракете в данный момент полета;
M 1 – сухая масса ракеты;
V 1 – скорость истечения продуктов сгорания;
V – скорость ракеты.
Разделив переменные и интегрируя, он получил:
или V / V 1 = – ln (M 1 + М) + С где: C = const
До запуска, когда V = 0, М = М 2 , т.е. начальному запасу топлива на ракете.
Тогда С = ln (M 1 + М 2);
Наибольшая скорость получится, когда сгорит все топливо, т.е. когда М = 0, т.е.
Vmax = V 1 ln (1 + Z) (3)
Число Z называют ныне числом К.Э. Циолковского.
«Отсюда мы видим, – писал он, – что скорость V снаряда возрастает неограниченно с возрастанием количества М2 взрывчатых веществ. Значит, запасаясь разными количествами их, при разных путешествиях мы получим самые разнообразные окончательные скорости» [с. 77-78].
Но вот тут-то он уже и ошибся. Дело в том, что запас топлива на ракете хоть и может быть любым, но фиксированным сказывается отношение его массы к массе конструкции, т.е. число Z, которое в процессе развития ракет хотя и изменялось, но всегда имело некоторый свой логический предел, обусловленный конструктивными и технологическими особенностями. К.Э. Циолковский принял неслыханную и поныне скорость истечения V 1 = 5700 м/с (для водородно-кислородного топлива она составляет примерно 4500 м/с) и по формуле (3) получил, что Z приблизительно равно 3 для обеспечения первой космической скорости.
Он проводил расчет даже до Z = 200, не понимая, что это расчет абсурда. Для современных одноступенчатых ракет еще в полной мере не удается обеспечить Z = 10, необходимое для их выхода на орбиту.
Н.Д. Моисеев отмечал, что К.Э. Циолковский в своих расчетах все округления и допущения всегда делал так, что погрешность шла в запас [с. 27]. Но этому своему правилу в работе он явно изменил.
Проведя соответствующие расчеты по формуле (3), он пришел к выводу о том, что:
«При отношении M 2 / М 1 , равном шести, скорость ракеты почти достаточна для удаления ее от Земли и вечного вращения вокруг Солнца в качестве самостоятельной планеты. При большем количестве взрывчатого запаса возможно достижение пояса астероидов и даже тяжелых планет» [с. 83].
Он считал, что «…всевозможной величины снаряды с любым числом путешественников могут приобретать скорости желаемой величины», … «лишь бы запас взрывчатых веществ М 2 возрастал пропорционально возрастанию массы M 1 ракеты» [с. 82]. Но он не понимал, что величина Z ограничена возможностями природы и пропорционально отношение М 2 / M 1 может изменяться при недостаточно больших Z.
Формула (3) не учитывает потери в скорости ни за счет притяжения Земли, ни в результате воздействия аэродинамического сопротивления. Кроме того, в расчете использовалась экстремальная скорость истечения газов, причем даже без учета ее потерь из-за кпд двигателя. Значение этого кпд он мог ориентировочно принять таким, как у двигателей внутреннего сгорания, и тогда его ракета уже не выходила бы на орбиту.
В этой же работе он сделал, казалось бы, разумный шаг: он попытался определить влияние силы тяжести на скорость ракеты. При этом он пользуется формулами из школьного курса физики и совершенно не затрагивает специфики ракетного движения. Он писал: V = a t ; (4)
где: V – скорость ракеты в среде без тяжести и аэродинамического сопротивления; а – ускорение прямолинейного движения; t – время.
(У него было записано так: t = V/P где Р – ускорение; мы здесь заменили Р на а). К.Э. Циолковский вводит далее силу земного притяжения:
где V – скорость ракеты в конце активного участка при постоянном ускорении свободного падения g.
Комбинируя (4) и (5), он получил:
Подставив (6) в (2), он приходит к зависимости конечной скорости ракеты в среде с силой притяжения:
К.Э. Циолковский использует далее эту формулу для расчетов каких-то экзотических, второстепенных режимов движения. Например, он вычислил сколько времени простояла бы неподвижно ракета с работающим двигателем на Земле и на Луне если бы g = a.
Некоторые наблюдения были хоть и полезными, но, тем не менее, не актуальными. Например, он заметил, что если а –> ?, то скорость ракеты будет одинакова в среде с притяжением и без него (без аэродинамического сопротивления, конечно), т.е. что выгоднее сжигать сразу все топливо на Земле.
Далее он, положив, что g/a = 10, M 2 M 1 = 6 нашел, что V 2 = 9990 м/с [с. 89]. Казалось бы, что, наконец-то, круг замкнулся и то, ради чего была получена формула (7), сейчас будет достигнуто – ведь теперь уже очевидно, что числа Z = 6 не хватает для достижения второй космической скорости:
А ведь еще есть аэродинамическое сопротивление, к.п.д. двигателя. Если на каждое из этих слагаемых набросить тоже всего по 10%, то теперь уже потери в скорости составят 30%.
Однако К.Э. Циолковский отметил лишь прямо противоположное: «Мы нашли V 2 = 9900 м/с, т.е. такую скорость, которая лишь немного менее скорости V, приобретаемой в среде, свободной от силы тяжести при тех же условиях взрыва» [с. 89].
Об этой проблеме он думал всю свою жизнь. В 1935 году он писал о том, что чем больше он работал, тем больше находил разные трудности и препятствия на пути в космос, но в последнее время «…найдены приемы, которые дадут изумительные результаты» [с. 419].
Под этими приемами он понимал принцип многоступенчатых ракет, и как только он этот принцип для себя открыл, тотчас нашлись у него аргументы, свидетельствующие о невозможности осуществления межпланетного полета с помощью одноступенчатой ракеты.
В работе , которую он писал в конце жизни и не закончил, он прямо отметил, что не удается обеспечить скорость истечения продуктов сгорания на уровне 5-6 км/с, да и стартовая масса ограничена, он также сделал предположение о том, что в ракете может с полезными целями использоваться всего 70% энергии топлива, а скорость истечения может достигать всего 4 км/с [с. 421].
Проведя расчеты, он пришел к выводу о том, что «…практическая скорость едва достаточна для роли близкого земного спутника» [с. 422].
Таким образом, он в конечном итоге и сам признал, что предложенный им проект ракеты был не пригоден для обеспечения межпланетного полета, т.е. был фантастичным, гипотетическим, но это произошло уже тогда, когда он нашел, как ему казалось, способ решения этой проблемы.
Допустим, что ракета К.Э. Циолковского все-таки отправилась в межпланетное путешествие или, скажем, на Луну. Для этого она должна была не только набрать вторую космическую скорость, но и при посадке погасить ее до нуля, что требует увеличить запасы топлива. Этому вопросу К.Э. Циолковский уделил в своей работе самое пристальное внимание, посвятив ему отдельный раздел.
Для того, чтобы понять как формировались мифы о К.Э. Циолковском, рассмотрим его изложение А.А. Космодемьянским.
Он писал:
«В научной литературе по ракетодинамике совсем не упоминается о приоритете К.Э. Циолковского, впервые решившего задачу о мягкой посадке на астероид или планету без атмосферы. А это было сделано ученым еще в работе 1903 г., где есть небольшой раздел, озаглавленный «Среда тяжести. Отвесное возвращение на Землю» [с. 85-86].
«Дадим элементарный вывод одного из результатов Циолковского. Рассмотрим свободное пространство и ракету, получившую скорость V 1 = V r ln(1 + Z);
Погасить скорость V 1 в свободном пространстве (посадка на астероид) эквивалентно возможности иметь в ракете начальный запас топлива для получения скорости V 2 = 2V 1 ; т.е.
V 2 = 2 V r ln(1+Z 1) = V r ln(1+ Z 1) 2 = V r ln(1 + Z 2);
где Z 2 – число Циолковского, обеспечивающее получение ракетной скорости V (и ее уменьшение до нуля (мягкая посадка!). Легко понять, что
Эта формула приводится на стр. 92 указанной работы Циолковского. Он пишет, что из полученной формулы «…видим, как недопустимо громаден запас взрывчатого материала, если мы хотим приобрести очень большую скорость и потерять ее» [с. 92].
В самом деле, – продолжает А.А. Космодемьянский, – пусть Z 1 = 9 (это обеспечивает получение первой космической скорости при известных современных топливах), тогда из формулы (9) получаем:
Z 2 = (1 + 9) 2 – 1;
т.е. для одноступенчатой ракеты обеспечение разгона до V 1 = 8 км/с и последующего торможения до V = 0 требует, чтобы масса топлива была в 99 раз больше массы ракеты без топлива. Практически это невозможно.
Циолковский дал решение задачи о мягкой посадке на поверхность планеты без атмосферы с учетом силы притяжения, полагая, что масса ракеты (корабля) меняется по показательному закону. В этом случае (если М = М 0 е – at) уравнение прямолинейного (радиального) движения будет:
или (упрощающее предположение):
Величина
дает перегрузку. Если n – задано, то задача о мягкой посадке решается очень просто (это элементарная задача о равнозамедленном движении).
Циолковский в ряде своих работ придает важное значение случаю равнопеременных прямолинейных движений ракеты, когда М = М 0 е – at . По существу дела он первым детально обследовал этот класс движений ракеты» [с. 86-87].
А теперь сравним это с тем, что писал К.Э. Циолковский, конечно, для доказательности, по возможности, цитируя и его.
Он писал для среды без притяжения:
«Пусть, например, ракета силою взрыва некоторого (не всего) количества газов приобрела скорость 10000 км/с. Теперь для остановки следует приобрести такую же скорость, но в обратном направлении. Очевидно, количество оставшихся взрывчатых веществ … должно быть в пять раз больше массы М1 снаряда». (Он, конечно, эту цифру получил из формулы (2) – Г.С.).
«Стало быть, снаряд должен иметь по окончании первой части взрыва (для приобретения поступательной скорости) запас взрывчатого вещества, масса которого выразится через 5 М 1 = М 2 .
Вся масса вместе с запасом составит М 2 + М 1 = 5М 1 + М 1 = 6М 1 .
Этой массе 6М 1 первоначальное взрывание должно также сообщить скорость в 10000 м/сек, а для этого нужно новое количество взрывчатого материала, которое должно также в пять раз превышать массу снаряда с массою запаса для остановки, т.е. мы должны 6М 1 увеличить в пять раз; получим 30М 1 что вместе с запасом для остановки 5М 1 составит 35М 1
Обозначив число, показывающее, во сколько раз масса взрывчатого материала больше массы снаряда, через q = М 2 /М 1 предыдущие рассуждения, определяющие массу всего взрывчатого вещества М 2 /М 1 для приобретения скорости и уничтожения ее, выразим так:
М 3 /М 1 = q + (1+q) q = q (2 + q)
или, прибавляя и вычитая единицу из второй части уравнения, получим
М3/М1 = 1 + 2q + q 2 – 1 = (1+q) 2 – 1 (11)
т.е. он своим путем получил формулу (9).
К.Э. Циолковский не составлял и не решал, в частности, уравнения (10). Ни в одной из своих работ он даже не упоминал о законе изменения массы ракеты – он этого просто не понимал – и, конечно, в рассматриваемой работе не предполагал, что оно происходит по показательному (или по линейному) закону, и он вообще не исследовал «этот класс движения ракеты». Он просто использовал в своих расчетах известную из школьного курса физики формулу для равнопеременного прямолинейного движения.
Изобретенная им ракета была четко функционально ориентирована на решение задачи о межпланетных путешествиях. Однако К.Э. Циолковскому не удалось доказать математически осуществимость своего замысла.
Во-первых, он не справился с выбором числа Z (да и не мог, видимо, в то время с этим справиться) и, кроме того, в полной мере даже не понял его сущность, а во-вторых, он не нашел выхода с решением проблемы посадки ракетного аппарата на другие планеты или на Землю. В самом деле, представляется фантастикой даже для настоящего времени обеспечить массу топлива на ракете почти в 100 раз больше массы ее конструкции. Эти расчеты приведены только для первой космической скорости и, кроме того, не учитывали необходимость повторного старта с астероида (планеты), набора необходимой скорости и ее гашения при посадке на Землю. Полученные здесь цифры были бы чудовищно большими (число Z составляло бы несколько тысяч) и не оставляли бы никаких надежд на осуществление межпланетных путешествий.
Обратим внимание, К.Э. Циолковский не акцентирует внимание на этом аспекте, как бы убирая подальше от читателя очередное препятствие на пути к осуществлению своего проекта. Зафиксировав факт необходимости больших значений числа Z, он не сделал, казалось бы, логичного вывода о невозможности осуществления с помощью его ракеты межпланетного путешествия.
Расчеты К.Э. Циолковского были ориентированы ни на решение проблем, ни на их выявление, а на создание у читателей иллюзии теоретической респектабельности его идеи. Они проводились (подгонялись) под заранее заданный ответ.
Итак, его ракета была неработоспособна, поскольку она:
1) в одноступенчатом варианте едва могла выйти даже на околоземную орбиту;
2) не могла прилететь на другую планету и вернуться на Землю;
3) сопло двигателя было чрезмерно длинным и в ряде проектов оно было завито спирально;
4) двигатель нельзя было охладить предлагавшимися методами.
Новым, что внес К.Э. Циолковский в конструкцию ракеты было предложение использовать в ней не одно, а двухкомпонентное жидкое топливо. Другие его предложения, касавшиеся отдельных систем ракеты, были или его догадками, не подкрепленными экспериментами и расчетами, или оказывались очевидными. Особо стоит выделить вполне целесообразную идею о газовом руле ракеты, которая была несомненно патентоспособна.
Именно в этих четырех положениях и фокусируются наши разногласия с биографами К.Э. Циолковского. «Можно ли считать изобретателем человека, предлагающего неработоспособный и не выполняющий свою функциональную задачу технический объект?» – вот тот вопрос, который в данном контексте представляется ключевым. Само собой разумеется, что из указанных четырех недостатков ракеты Циолковского не все были одинаково принципиальны. Так, например, длина сопла и его форма могли быть легко скорректированы любым специалистом по теплотехнике или гидродинамике, что в действительности вскоре и произошло. А вот с остальными ситуация оказывалась сложной.
В самом деле, одноступенчатость ракеты исключала возможность ее использования для межпланетных полетов, что следовало и из исследований самого К.Э. Циолковского. Идея многоступенчатых ракет, как будет показано ниже, пришла к нам с запада от Р. Годдарда, а Циолковский так и не понял даже ее сути.
Может быть, ему принадлежит изобретение просто космической ракеты, т.е. ракеты, в одноступенчатом варианте достигающей космоса? Видимо, ответ и на этот вопрос будет по крайней мере спорным. Все исследователи того времени были бы рады увеличить дальность полета существовавших ракет, но не видели путей достижения этого. При использовании жидкого топлива в камере двигателя развивались столь высокие температуры, что сама ракета сгорала. Суть изобретательской задачи как раз и состояла в том, чтобы разрешить это противоречие, своего рода «заколдованный круг»: хочешь в космос – повышай калорийность топлива, а значит, и температуру его горения, но тогда ракета сгорает; хочешь ее сохранить – уменьшай эту температуру, но тогда останешься без космоса. Но это противоречие К.Э. Циолковский не разрешил, а это означает, что и изобретение не состоялось. Его предложение не было, таким образом, научно обоснованным, оставалось, поэтому, научно-фантастическим, просто догадкой. Посылка о том, что простое использование жидкого топлива взамен твердого позволит обеспечить межпланетный перелет была ошибочной. Изобретение технического объекта есть процесс, который может растянуться не только на десятилетия, но и на столетия, на протяжении которых большое количество исследователей вносят свой вклад в соответствующие работы, и приписывать любому из них изобретение всего объекта – большая методологическая ошибка. К.Э. Циолковский сказал: «Давайте для межпланетных путешествий использовать жидкое топливо.» Наука (да и расчеты самого Циолковского) говорила: «Нет, ничего не получится.» Р. Годдард и Г. Оберт сказали: «Давайте использовать, кроме того, многоступенчатые ракеты.» Наука сказала: «Правильно, но как обеспечить сохранность материальной части от разрушающего действия высоких температур?» Прошло более десяти лет, после которых немецкие специалисты нашли ответ и на этот вопрос, обеспечив сохранность Фау-2. Вот когда только закончилось изобретение жидкостной межпланетной ракеты с принципиальной точки зрения. Но нужны были усилия и десятков, скорее, сотен специалистов для изобретения отдельных элементов ракеты.
Нужно было действо лукавого глубокомыслия, чтобы все это приписать К.Э. Циолковскому. Впрочем, может быть, мы слишком строги к «основоположнику»? Итак, он – изобретатель или нет? Мы говорим: «Он один из изобретателей жидкостной (но даже не межпланетной) ракеты, которую изобрести ему в целом не удалось. Он всего лишь привлек внимание, даже не ученых, нет, а популяризаторов науки, журналистов, школьников к проблеме межпланетных полетов. В этом его заслуга. Но при чем здесь наука?
К.Э. Циолковского не следует, поэтому, называть изобретателем ракеты, поскольку он всего лишь один из многочисленных ее изобретателей, причем он – пионер в этой области, вызвавший к ней определенное внимание в России.
Наконец, следует отметить, что ему не удалось математически обосновать возможность совершить с помощью этой ракеты межпланетный полет, т.е. он сам же и нарушил то правило, выполнение которого, как показано выше, он требовал от других изобретателей. Поставить задачу – это еще не означает решить ее.
Вернемся к формуле (3).
В докторской диссертации Г.К. Михайлова, защищенной в МГУ в 1977 году , было убедительно показано, что уравнение движения тела с переменной массой решили английские исследователи У. Мур , а также П.Г. Тэйт и У.Дж. Стил из Кембриджского университета соответственно в 1810-1811 гг. и в 1856 году.
Эти работы были откровенно ориентированы на ракетную технику, причем в первой из них это уравнение решалось также и для случая движения ракеты в гравитационном поле.
Очевидно, что приоритет в этом вопросе и должен принадлежать этим ученым.
Однако у такой точки зрения существуют и оппоненты. Так в работе А.А. Космодемьянский считал, что их решение представляется лишь частным случаем решения этого уравнения К.Э. Циолковским, вытекающим из предположения, что сила тяги будет величиной постоянной, т.е. когда закон изменения массы будет иметь вид: М = М 0 (1 – at), где: М 0 – стартовая масса ракеты, a – постоянная величина, характеризующая секундный расход массы.
В работе , являвшейся учебником для студентов, одна из задач была посвящена движению ракеты с показательным законом изменения массы, т.е. когда ее ускорение постоянно:М = М 0 е – at
При этом была допущена небольшая, но существенная историческая неточность: автор работы представил дело таким образом, будто исходное уравнение было записано К.Э. Циолковским в таком виде:
где f(t) – функция, определяющая закон изменения массы. У К.Э. Циолковского она, дескать, f(0) = l, а линейный и показательный законы изменения массы, принятые англичанами, являются, частным случаем f(t).
Однако, во-первых, К.Э. Циолковский f(t) не вводил, не оговаривал и вообще не знал ничего о законах изменения массы. Это впервые и в конкретной форме сделали цитировавшиеся англичане. Во-вторых, случай f(0) = l – всего лишь начальное условие.
Наконец, скорость ракеты в конце активного участка для рассматриваемого случая вообще не зависит от закона изменения массы. Поэтому выражения для формулы скорости у англичан и у К.Э. Циолковского тождественны, а вот вычисление расстояний требует введения этого закона, что он в отличии от англичан не понял вообще.
Вместе с тем, как бы ни закончился спор о его приоритете с англичанами, приоритет в решении уравнения тела с переменной массой ему не принадлежит в любом случае.
В России это уравнение впервые было решено другим нашим соотечественником, крупнейшем специалистом по теоретической механике, специализировавшемся именно на исследованиях движения тел переменной массы, бывшим приват-доцентом Санкт-Петербургского университета, а с 1902 года – ординарным профессором кафедры теоретической механики Петербургского политехнического института Мещерским Иваном Всеволодовичем (1859-1935 гг.). 27 марта 1897 года он представил свою диссертацию с решением этого уравнения в деканат, в ноябре того же года она уже была опубликована, а 10 декабря состоялась защита. По данным [с. 146] свое уравнение К.Э. Циолковский решил в мае 1897 года, а опубликовал, как уже отмечалось, только в 1903 году.
Сам А.А. Космодемьянский в предисловии к работе писал: «Диссертация Мещерского «Динамика точки переменной массы» и его работа «Уравнения движения точки переменной массы в общем случае» составляют надежный теоретический фундамент современной ракетодинамики». И далее: «И.В. Мещерский – создатель нового раздела теоретической механики» [с. 25]. «Механика тел переменной массы есть научная основа современной ракетодинамики» [с. 5].
Полученные И.В. Мещерским уравнения используются во всех видах летательных аппаратов, где происходит отделение (ракеты) или присоединение (воздушно-реактивные двигатели) массы.
Во второй главе он решает простейший случай этого уравнения, когда «скорость изменяющейся массы равна скорости точки» [с. 41].
Сейчас, при решении вопроса о приоритете К.Э. Циолковского, многие исследователи отмечают, что он свою формулу получил применительно к движению ракет, а И.В. Мещерский, якобы, лишь для некоторого абстрактного случая.
Однако даже беглое ознакомление с его работами убедительно свидетельствуют, что и это утверждение несостоятельное.
И.В. Мещерский писал:
«Глава III содержит задачи о прямолинейном движении точки переменной массы и, прежде всего, те, к которым мы приходим, рассматривая вертикальное движение горящей ракеты и привязного аэростата … и далее решается задача о движении тяжелой точки массы m = m 0 (1 + at) 2 при сопротивлении среды, пропорциональном квадрату скорости» [с. 43]. Решение этой задачи он свел к известному уравнению Риккати. В главе VI он рассматривал движение точки переменной массы в однородном поле тяготения, в том числе и когда масса точки изменяется по показательному закону [с. 122]. Основное уравнение ракеты (формула К.Э. Циолковского) было представлено в виде [с. 121]: X = а ln(f) + Х 0 , где f – безразмерная масса, а = const.
Иногда можно слышать суждения и о том, что К.Э. Циолковскому хотя и не принадлежит приоритет в решении рассматриваемого уравнения, но он был первым, кто применил известную формулу к расчетам межпланетной ракеты (а не просто ракеты). Однако, если следовать этой логике, необходимо было бы законам, скажем, Ньютона или таблице умножения присваивать имена тех исследователей, которые впервые применяли их в новых областях науки и техники. Использование известной формулы в другой области познания не является предметом приоритета.
Не удалось К.Э. Циолковскому с помощью простых расчетов по этой формуле получить и какие-либо серьезные выводы. Наоборот, эти расчеты были способом ввести читателей в заблуждение относительно принципиальной осуществимости космической ракеты. С их помощью он, как уже отмечалось «прятал» проблемы, стоявшие на пути в космос.
К.Э. Циолковский в одной из своих работ писал:
«Я многое открыл, что было уже открыто ранее меня. Значение таких работ я признаю только для самого себя, так как они давали мне уверенность в моих силах. Также должны смотреть на свои открытия ученые, сделавшие их после меня. Обвинять в заимствованиях, конечно, без доказательств нельзя. Все же я думаю, что как мои запоздалые работы, так и других ученых отчасти навеяны отголосками ранее опубликованных трудов. Молва и печать их распространяют иногда и без указания источников. Печатная дата – вот, что решает спор о первенстве (приоритете) и значении ученого» [л. 1].
Ну что ж, настало время вернуть свой долг И.В. Мещерскому или англичанам. Следует вспомнить еще одну горестную судьбу уравнения, впервые полученного и исследованного И.В. Мещерским в 1897 году. Оно являлось частным случаем уравнения (1) и, только спустя 31 год(!), итальянский математик Леви-Чивита еще раз его вывел и оно получило его имя: «уравнение Леви-Чивита» [с. 16]. И здесь следовало бы восстановить историческую справедливость – для этого, в частности, и существуют историки науки и техники, – и вернуть И.В. Мещерскому его уравнение.
Итак, мы не нашли у К.Э. Циолковского ни одной задачи, типичной для ракетодинамики, специфику которой он не понимал и подменял в результате сущность ракетного движения представлениями о движении абстрактного тела.
Вот, например, как он решал вторую свою задачу, хотя непонятно кто и когда присвоил ей его имя. Формулируется она так: «Пусть ракета движется поступательно по вертикали вверх в однородном поле силы тяжести и начальная скорость центра масс ракеты равна Vo. Требуется определить закон изменения скорости и расстояния (высоты) ракеты в зависимости от времени при различных законах изменения массы и найти максимальную высоту подъема ракеты» [с. 204].
Это цитата из работы А.А. Космодемьянского, в которой он привел современное решение и этой задачи, создавая у читателей иллюзию, что именно так ее и решил К.Э. Циолковский. Мы не будем здесь пересказывать решение ее А.А. Космодемьянским – желающие узнать о современных способах могут обратиться к первоисточнику , а мы отметим ход ее решения самим К.Э. Циолковским:
Дальше продолжать не будем, поскольку любой человек со средним образованием здесь все поймет без лишних слов. Отметим только, что ни о каком учете изменения массы ракеты К.Э. Циолковский речи, конечно же, не вел – необходимость этого он даже не понимал.
К.Э. Циолковскому не принадлежит приоритет в выводе ни одной формулы ракетодинамики – в своих рассуждениях он использовал малообоснованные формулы из школьного учебника физики. А ведь ракетодинамика – это еще и вариационные задачи.
В работе утверждается, что получение формулы, носящей имя К.Э. Циолковского, «… было отнюдь не простым делом для того времени, как может показаться на первый взгляд.» Для доказательства отмечается, что американский исследователь Р.Х. Годдард, составив соответствующее дифференциальное уравнение, не сумел его решить, что уже «… само по себе доказывает на наличие своеобразных трудностей в этом вопросе» [с. 27].
С нашей точки зрения этот вывод был весьма простым. В работе приводится доказательство того, что это уравнение решали на экзаменах студенты Кембриджского университета еще в середине XIX в.
Авторы работы считают, что «Циолковский является подлинным и единственным основоположником научной космонавтики, потому что до появления его трудов ни такой научной дисциплины, ни такой области научно-технического прогресса, ни такой области человеческой деятельности не существовало вообще…» [с. 145]. Однако здесь допускается логическая ошибка по схеме: после этого, значит по причине этого. Подгонку результатов расчетов под заранее заданный ответ нельзя называть научным исследованием. Космической науки не существовало и после смерти К.Э. Циолковского приблизительно 15-20 лет. Даже ракета ФАУ-2 была создана в условиях резкого отставания науки от потребностей практики методами проб и ошибок (см., например, ).
Судьба рассмотренной здесь работы К.Э. Циолковского оказалась неудачной. Вскоре после ее выхода в газетах появилось сообщение о том, что журнал «Научное обозрение» закрыт. Видимо, часть тиража была конфискована, так что сам автор с большим трудом достал всего один его экземпляр.
В августе 1911 году он писал Б.Н. Воробьеву (редактору журнала «Вестник воздухоплавания»):
«Время было строгое, когда печаталось начало моей статьи, и редактор, как он писал, терпел неприятности от цензуры, если не больше. Оттиски (особые), как видно, были конфискованы, так как я не мог их получить даже за деньги из типографии, и говорить со мною о них не стали, хотя они несомненно были по словам же типографии» [с. 15].
Так что, о гипотезе межпланетной ракеты общественности стало известно, в основном, лишь в результате последующих публикаций К.Э. Циолковского, хотя подписчикам журнал был доставлен даже за границу.
Итак, попытаемся понять, в чем заслуга К.Э. Циолковского в ракетной технике.
В.Н. Сокольский считает, что она состоит в том, что он объединил два направления: мечту писателей-фантастов о межпланетных путешествиях с предложением использовать для этих целей ракеты , т.е. для решения известной функциональной задачи он предложил известное техническое средство. Однако, строго говоря, это сделал еще Сирано де Бержерак. К.Э. Циолковскому не удалось предложить а) работоспособную конструкцию ракеты и б) математически обосновать возможность межпланетных путешествий. Он не стал, следовательно, изобретателем жидкостной ракеты, хотя, несомненно, был пионером в этой области и высказал перспективную идею о принципиальной возможности использовать на ракетах, кроме твердого, жидкое двухкомпонентное топливо. Для того, однако, чтобы изобретение состоялось, ему необходимо было разрешить возникавшее противоречие, связанное с тем, что весьма высокие температуры, обусловленные использованием самого калорийного топлива, разрушали ракету, но сделать это ему не удалось.
Обратим внимание на то, что все его идеи были вовсе не наукоемки и касались задач, находящихся на уровне почти бытовых знаний и мышления.
Его усилия по разработке отдельных систем этих жидкостных ракет приводили либо к очевидным (для того времени) результатам, либо были догадками, фантазиями их автора, ничем, в сущности, не обоснованными.
В социальном плане он, будучи пионером в области жидкостных ракет, самим фактом своей деятельности вызывал интерес общества к проблемам развития космонавтики, впервые попытавшись обеспечить научный подход к их решению, что представляется его несомненной заслугой.
Из книги Курс русской истории (Лекции I-XXXII) автораФормула Таким образом, удельный порядок держался на двух основаниях, на географическом и на политическом: он создан был совместным действием природы страны и её колонизации. 1) При содействии физических особенностей Верхневолжской Руси колонизация выводила здесь мелкие
Из книги Курс русской истории (Лекции I-XXXII) автора Ключевский Василий ОсиповичФормула Таковы были главные следствия удельного порядка. Их можно свести в такую краткую формулу: под действием удельного порядка северная Русь политически дробилась всё мельче, теряя и прежние слабые связи политического единства; вследствие этого дробления князья всё
Из книги Битва за звезды-1. Ракетные системы докосмической эры автора Первушин Антон ИвановичРакеты и ракетные поезда Константина Циолковского Константин Эдуардович Циолковский - одна из самых неоднозначных фигур в истории. С одной стороны, никто не может отрицать его заслуг перед человечеством на поприще разработки теоретических основ космонавтики. С другой
Из книги Астронавты Гитлера автора Первушин Антон ИвановичИНТЕРЛЮДИЯ 1: Секретные материалы Циолковского В начале ХХ века ракеты считались экзотикой. Даже самые совершенные из них уступали дальнобойной артиллерии, и мало кто мог предположить, что через полвека сверхдержавы будут запугивать этим оружием друг друга.
автора Первушин Антон Иванович1.4. ВИДЕНИЯ КОНСТАНТИНА ЦИОЛКОВСКОГО Официальная биография Циолковского хорошо известна. Более того, ее изучают в школах. Поэтому я не стану подробно расписывать ее здесь, позволив себе напомнить вам лишь основные вехи жизни калужского мыслителя.Константин Эдуардович
Из книги Космонавты Сталина. Межпланетный прорыв Советской Империи автора Первушин Антон ИвановичСТРАННАЯ ФИЛОСОФИЯ ЦИОЛКОВСКОГО Как-то мне на глаза попалось интервью, которое давал пару лет назад довольно известный популяризатор, кандидат технических наук, старший научный сотрудник Института истории естествознания и техники РАН Гелий Малькович Салахутдинов.
автораБорьба К.Э. Циолковского против второго начала термодинамики и за вечную юность вселенной 1903 год был пиком творчества К.Э. Циолковского. Статья его прошла незамеченной научной общественностью, что и понятно, поскольку дискутировать с «сумасшедшими» идеями,
Из книги Блеск и нищета К. Э. Циолковского автора Салахутдинов Гелий МальковичФеномен К.Э. Циолковского Проанализировав практически все основные идеи К.Э. Циолковского, наступил, видимо, момент, когда следует попытаться ответить на вопрос о том, а кем же он был: ученым, изобретателем, компилятором или графоманом.Как могло случиться, что человек, не
Из книги Блеск и нищета К. Э. Циолковского автора Салахутдинов Гелий МальковичВклад К.Э. Циолковского в науку и технику Стразу ограничим наш предмет утверждением, что К.Э. Циолковский никакого вклада в науку не внес несмотря на все попытки в этом направлении.Из всех попыток изобретательства ему удалась всего одна работа – это его предложение по
Из книги Личности в истории. Россия [Сборник статей] автора Биографии и мемуары Коллектив авторов --Звездный мечтатель. К 150-летию Константина Эдуардовича Циолковского Мануэлла Лоджевская, Илья Бузукашвили Впервые он доверил слова своей молитвы перу и бумаге, когда ему было 30 лет: «Отец, живущий на небе! Да узнают про существование твое все живущие на Земле. Пусть узнают
Из книги Антисемитизм как закон природы автора Бруштейн Михаил Из книги Криптоэкономика мирового алмазного рынка автора Горяинов Сергей АлександровичФормула Родса В 1870 г. на юге Африки (на территории современной ЮАР) были открыты три крупных месторождения алмазов? Ягерсфонтейн, Дютойтспен и Коффифонтейн. Это были первые известные в Истории коренные месторождения, так называемые кимберлитовые трубки взрыва. В 1871 г.
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от, проверенной 23 февраля 2018; проверки требуют.
Однако первыми уравнение движения тела с переменной массой решили английские исследователи У. Мур (англ. William Moore ) в 1810-1811 годах, а также П. Г. Тэйт и У. Дж. Стил из Кембриджского университета в 1856 году.
Формула Циолковского может быть получена путём интегрирования дифференциального уравнения Мещерского для материальной точки переменной массы :
Как видно из таблицы, гравитационная составляющая является наибольшей в общей величине потерь. Гравитационные потери возникают из-за того, что ракета, стартуя вертикально, не только разгоняется, но и набирает высоту, преодолевая тяготение Земли, и на это также расходуется топливо. Величина этих потерь вычисляется по формуле:
Аэродинамические потери вызваны сопротивлением воздушной среды при движении ракеты в ней и рассчитываются по формуле:
Основные потери от сопротивления воздуха также приходятся на участок работы 1-й ступени ракеты, так как этот участок проходит в нижних, наиболее плотных слоях атмосферы.
Корабль должен быть выведен на орбиту со строго определёнными параметрами, для этого система управления на активном участке полёта разворачивает ракету по определённой программе, при этом направление тяги двигателя отклоняется от текущего направления движения ракеты, а это влечёт за собой потери скорости на управление, которые рассчитываются по формуле:
Наибольшая часть потерь на управление ракеты приходится на участок полёта 2-й ступени, поскольку именно на этом участке происходит переход от вертикального полёта в горизонтальный, и вектор тяги двигателя в наибольшей степени отклоняется по направлению от вектора скорости ракеты.
Выведенная в конце XIX века, формула Циолковского и сегодня составляет важную часть математического аппарата, используемого при проектировании ракет, в частности, при определении их основных массовых характеристик.
Это уравнение дает отношение начальной массы ракеты к её конечной массе при заданных значениях конечной скорости ракеты и удельного импульса .
Масса конструкции ракеты в большом диапазоне значений зависит от массы топлива почти линейно: чем больше запас топлива, тем больше размеры и масса ёмкостей для его хранения, больше масса несущих элементов конструкции, мощнее (следовательно, массивнее) двигательная установка. Выразим эту зависимость в виде:
одноступенчатой ракетой при данных условиях достижение поставленной цели невозможноДанный расчет является упрощенным и не учитывает затрат на изменение потенциальной энергии тела, и при его прямом применении возникает иллюзия, что затраты уменьшаются с ростом высоты орбиты. В реальности без учета потерь на сопротивление атмосферы и гравитационных потерь за время вывода на орбиту потребная скорость (мгновенно приданная телу на уровне нулевой высоты над поверхностью) оказывается выше. Её можно примерно определить, применив закон сохранения механической энергии (гипотетическая эллиптическая орбита с перицентром в точке касания Земли и апоцентром на высоте целевой орбиты):
Это приближение не учитывает импульсов на переход с круговой орбиты Земли на эллиптическую и с эллиптической на новую круговую, а также применимо только к хомановским переходам (то есть применение для параболических и гиперболических переходов не работает), но много точнее, чем просто принимать за потребную скорость первую космическую для широкого диапазона высот НОО.
Тогда на высоте 250 км потребная скорость для вывода составит 8,063 м/с, а не 7,764, а для ГСО (35 786 км над уровнем Земли) - уже 10,762 м/с, а не 3,077 м/с, как было бы при игнорировании затрат на изменение потенциальной энергии.
Для первой ступени к массе полезной нагрузки добавляется полная масса второй ступени; после соответствующей подстановки получаем:
Таким образом, полная масса первой ступени составляет 368,1 т, а общая масса двухступенчатой ракеты с полезным грузом составит 10+55,9+368,1 = 434 т. Аналогичным образом выполняются расчёты для бо́льшего количества ступеней. В результате получаем, что стартовая масса трёхступенчатой ракеты составит 323,1 т, четырёхступенчатой - 294,2 т, пятиступенчатой - 281 т.
На этом примере видно, как оправдывается многоступенчатость в ракетостроении: при той же конечной скорости ракета с бо́льшим числом ступеней имеет меньшую массу.
Такого рода расчёты выполняются не только на первом этапе проектирования - при выборе варианта компоновки ракеты, но и на последующих стадиях проектирования, по мере детализации конструкции, формула Циолковского постоянно используется при поверочных расчётах, когда характеристические скорости пересчитываются, с учётом сложившихся из конкретных деталей соотношений начальной и конечной массы ракеты (ступени), конкретных характеристик двигательной установки, уточнения потерь скорости после расчёта программы полёта на активном участке , и т. д., чтобы контролировать достижение ракетой заданной скорости.
Циолковский попытался сделать математический расчёт движения такой ракеты в свободном пространстве. Понятно, что в ходе полёта масса ракеты из-за расхода топлива будет постепенно уменьшаться. Циолковский учёл это и вывел формулу, позволяющую определить скорость ракеты при постепенном изменении её массы. Эта формула называется теперь формулой Циолковского. Благодаря ей впервые стало возможным путём вычислений заранее определять лётные характеристики ракет. Позже Циолковский попробовал разрешить более сложную задачу - рассчитать движение ракеты при её вертикальном старте с поверхности Земли, то есть тогда, когда на неё воздействует гравитация и сила лобового сопротивления воздуха. Выведенные им формулы не учитывают многих обстоятельств, с которыми столкнулась позднее ракетодинамика (например, Циолковский не имел ещё представления о силах сопротивления при сверхзвуковых скоростях, движение ракеты он рассматривал как прямолинейное, а влияние систем управления на лётный характеристики вообще не учитывалось). Поэтому в наше время расчёты Циолковского можно рассматривать лишь как первое (грубое) приближение, но суть происходящего отражена в них верно.
Управлять полётом ракеты Циолковский предполагал или при помощи графитовых рулей, помещаемых в струе газа вблизи раструба (сопла) реактивного двигателя, или поворачивая сам раструб. Чтобы уменьшить отрицательное воздействие перегрузок на космонавтов при старте ракеты, Циолковский предлагал погружать их в жидкость равной плотности. Позже Циолковский пришёл к очень плодотворной идее многоступенчатых ракет. Он же заложил основы расчёта полёта этих ракет. (В 1926 г. Циолковский разработал теорию полёта двухступенчатой ракеты с последовательным отделением ступеней, а в 1929 г. - общую теорию полёта многоступенчатой ракеты.)
Но при всём увлечении Циолковского ракетодинамикой, ракета всегда оставалась для него только средством для преодоления земного притяжения и выхода в космос. Он много размышлял над теми проблемами, которые встретит человек, оказавшись в межпланетном пространстве и на других планетах, поэтому его с полным основанием можно считать также основоположником космонавтики. Многие предвидения Циолковского в этой области оказались чрезвычайно точными. Он, к примеру, красочно и очень верно описал ощущения, которые будет испытывать человек при старте ракеты и при выходе её в космическое пространство, в также то. Что он там увидит. Фантазия его далеко опережала своё время. Циолковский был твёрдо убеждён, что выход человечества в космос совершенно неизбежен и что именно освоение космоса поможет решить многие современные проблемы землян. В своих книгах он описывал целые кольца космических поселений на громадных орбитальных станциях будущего, расположенных вокруг солнца. Большую роль должны были играть на них космические оранжереи, так как в космосе можно собирать более значительные урожаи, чем на Земле. Он считал. Что обилие дешёвой солнечной энергии позволит человеку переместить в космос многие промышленные предприятия. «Завоевание солнечной системы, - писал Циолковский, - даст не только энергию и жизнь, которые в два миллиарда раз будут обильнее земной энергии и жизни, но и простор ещё более обильный».
Идеи Циолковского намного обогнали своё время. Современники не понимали его работ, правительство не спешило оказать ему материальную поддержку. В старости учёный с горечью писал: «Тяжело работать в одиночку многие годы при неблагоприятных условиях и не видеть ниоткуда ни просвета, ни поддержки». И в самом деле, исследования его протекали в очень тяжёлых условиях: мизерное жалование, большая семья, тесная и неудобная квартира, постоянная нужда, насмешки обывателей - всё это сопутствовало Циолковскому на протяжении всей его жизни. Многие свои книги Циолковскому пришлось публиковать за свой счёт и бесплатно рассылать по библиотекам.
Уравнение движения тела с переменной массой
Под переменной массой будем понимать массу тел, которая при медленном движении тел меняется за счет потери или приобретения вещества.
Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой в свою очередь действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. На ракету действуют внешние силы: сила земной тяжести, гравитационное притяжение Солнца и планет, а также сила сопротивления среды, в которой движется ракета.
Рисунок 1.
Пусть $m(t)$- масса ракеты в произвольный момент времени $t$, а $v(t)$- ее скорость в тот же момент. Количество движения ракеты в этот момент времени будет $mv$. Спустя время $dt$ масса и скорость ракеты получат приращение $dm$ и $dv$ (величина $dm$ отрицательна). Количество движения ракеты станет равным $(m+dm)(v+dv)$. Сюда надо добавить количество движения газов, образовавшихся за время $dt$. Оно равно $dm_{газ} v_{газ} $, где $dm_{газ} $- масса газов, образовавшихся за время $dt$, а $v_{газ} $- их скорость. Вычитая из суммарного количества движения в момент $t+dt$ количество движения системы в момент времени $t$, найдем приращение этой величины за время $dt$. Это приращение равно $Fdt$, где $F$- геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету. Таким образом:
$(m+dm)(v+dv)+dm_{газ} v_{газ} -mv=Fdt$. (1)
Время $dt$ и приращения $dm$ и $dv$ устремим к нулю, т.к. нас интересуют предельные отношения или производные $dm/dt$ и $dv/dt$. Поэтому, раскрывая скобки, можно отбросить произведение $dm\cdot dv$, как бесконечно малую высшего порядка. Далее, ввиду сохранения массы, $dm+dm_{газ} =0$. Пользуясь этим, можно исключить массу газов $dm_{газ} $. А разность $v_{отн} =v_{газ} -v$ есть скорость истечения газов относительно ракеты -- скорость газовой струи. С учетом этих замечаний уравнение (1) преобразуется к виду:
$mdv=v_{отн} dm+Fdt$. (2)
Разделив на $dt$, получаем:
$m\frac{dv}{dt} =v_{отн} \frac{dm}{dt} +F$. (3)
Уравнение Мещерского
По форме уравнение (3) совпадает с уравнением, выражающим второй закон Ньютона. Однако масса тела $m$здесь не постоянна, а меняется во времени из-за потери вещества. К внешней силе $F$ добавляется дополнительный член $v_{отн} \frac{dm}{dt} $, который может быть истолкован как реактивная сила, т.е. сила, с которой действуют на ракету вытекающие из нее газы. Уравнение (3) впервые было получено русским механиком И. В. Мещерским. Оно, так же как и эквивалентное ему уравнение (2), называется уравнением Мещерского или уравнением движения точки с переменной массой.
Формула Циолковского
Применим уравнение (2) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая $F=0$, получим:
Допустим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости газовой струи $v_{отн} $. Если направление полета принять за положительное, то проекция вектора $v_{отн} $ на это направление будет отрицательной и равной $-v_{отн} $. Поэтому в скалярной форме предыдущее уравнение можно записать так $mdv=v_{отн} dm$. Тогда:
$\frac{dv}{dm} =-\frac{v_{отн} }{m} $ (4)
Скорость газовой струи $v_{отн} $ может меняться во время полета. Однако простейшим и наиболее важным является случай, когда она постоянна. Предположение о постоянстве сильно облегчает решение уравнения (4). В этом случае:
Значение постоянной интегрирования С определяется начальными условиями. Допустим, что в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее масса равна $m_{0} $. Тогда из предыдущего уравнения получаем:
$C=v_{отн} \ln \frac{m_{0} }{m} $ тогда: $v=v_{отн} \ln \frac{m_{0} }{m} $ или $\frac{m_{0} }{m} =e^{\frac{v}{v_{отн} } } $
Последнее соотношение называется формулой Циолковского .
Величина достигаемой ракетой максимальной скорости не зависит от времени сгорания топлива.
Оптимальным путем изменения достигаемой максимальной скорости является увеличение относительной скорости истечения газов.
Для получения первой космической скорости при меньшем соотношении между массой ракеты и требуемой массы топлива целесообразно использование многоступенчатых ракет.
Примеры
Пример 1
Космический корабль двигался с постоянной по величине скоростью $v$. Для изменения направления его полета включается двигатель, выбрасывающий струю газа со скоростью $v_{отн} $ относительно корабля в направлении, перпендикулярном к его траектории. Определить угол $\alpha $, на который повернется вектор скорости корабля, если начальная масса его $m_{0} $, а конечная $m$.
Дано: $v$, $v_{отн} $, $m_{0} $, $m$.
Найти: $\alpha $-?
Решение:
Ускорение корабля по абсолютной величине равно:
$a=\omega ^{2} r=\omega v$, причем $v=const$. Поэтому уравнение движения:
$m\frac{dv}{dt} =v_{отн} \frac{dm}{dt} $ переходит в: $mv\omega dt=-v_{отн} dm$.
Так как $d\alpha =\omega dt$ есть угол поворота за время $dt$, интегрируя наше уравнение, получим:
\[\alpha =\frac{v_{отн} }{v} \ln \frac{m_{0} }{m} .\]
Ответ: угол поворота вектора скорости равен: $\alpha =\frac{v_{отн} }{v} \ln \frac{m_{0} }{m} $
Пример 2
Ракета перед стартом имеет массу $m_{0} =250$кг. На какой высоте окажется ракета через $t=20$с после начала работы двигателей? Расход топлива равен $\mu =4$кг/с и скорость истечения газов относительно ракеты $v_{отн} $$=1500$м/с постоянны. Поле тяготения Земли считать однородным.
Дано: $m_{0} =250$кг, $t=20$с, $\mu =4$кг/с, $v_{отн}=1500$м/с.
Найти: $H$-?
Решение:
Рисунок 2.
Запишем уравнение Мещерского в однородном поле тяготения Земли в виде:
где $m=m_{0} -\mu t$, а $v_{0} $- скорость ракеты в момент времени $t$. Разделяя переменные получаем:
\[\Delta v_{0} =(\frac{\mu v_{отн} }{m_{0} -\mu t} -g)\Delta t\]
Решение данного уравнения, удовлетворяющего начальному условию $v_{0} =0$ при $t=0$, имеет вид:
Учитывая что $H_{0} =0$ при $t=0$ получим:
Подставляя начальные значения, получаем:
$H=v_{отн} t-\frac{gt^{2} }{2} +\frac{v_{отн} m_{0} }{\mu } (1-\frac{\mu t}{m_{0} })\ln (1-\frac{\mu t}{m_{0} })=3177,5$м
Ответ: через $20$с ракета окажется на высоте $H=3177,5$м.
Первая задача Циолковского
Рассмотрим движение ракеты в безвоздушном пространстве при отсутствии гравитационного поля. Движение в этом случае будет происходить только под действием реактивной силы.
Какую скорость V приобретет ракета к моменту, когда начальная масса М 0 уменьшится до конечного значения М к (до полной выработки топлива)? Это – первая задача Циолковского.
Запишем уравнение Мещерского:
После разделения переменных получим:
Т.к. , после интегрирования получим:
Значение С получим из начальных условий: при t = 0 скорость V = V 0 =0 и масса М = М 0 .
Откуда: .
Подставив С в выражение для V , окончательно получим:
где: М – текущая масса ракеты;
– относительная текущая масса ракеты.
Это формула Циолковского для определения идеальной скорости одноступенчатой ракеты, которая характеризует энергетические характеристики собственно ракеты.
По мере выработки топлива масса М и соответственно m уменьшаются, а скорость V – возрастает.
В частности, при значении скорость V ракеты всегда равна эффективной скорости w e истечения (см. рис. 2.6).
Рис. 2.6. Изменение скорости V в зависимости от m для различных w e
Когда топливо будет полностью выработано, а двигатель выключен, скорость V достигнет своего наибольшего конечного V к значения:
где: – относительная конечная масса ;
M к , M 0 – конечная и начальная масса ракеты соответственно;
– число Циолковского.
Другая форма записи конечной скорости:
где: М Т – масса топлива;
– относительная масса топлива .
Рассмотрим, от каких параметров зависит путь S К , пройденный ракетой в идеальных условиях за время t К .
Очевидно: .
При текущая масса М ракеты линейно зависит от времени:
Поэтому: .
Тогда после замены переменных:
или после интегрирования:
.Величину, обратную n 0 называют тяговооруженностью :
Выясним, какое влияние оказывает тяговооруженность на время t работы двигателя.
Выше отмечалось, что при линейном законе изменения массы ЛА:
Учитывая, что:
Из последних двух выражений следует, что для ракет с одинаковыми скоростями истечения равным значениям m может соответствовать разное время работы двигателя: чем больше начальная тяговооруженность, тем меньше время.
На рис. 2.7 дана зависимость V = f (t ) для и различных, значений начальной тяговооруженности. Равные значения скорости, очевидно, имеют место при равные m.
Рис. 2.7. Зависимость скорости V от времени t полета для различных значений начальной тяговоорукенности
Увеличение конечной идеальной скорости ракеты можно достичь либо увеличением эффективной скорость истечения продуктов сгорания, либо уменьшением относительной конечной массы m К (увеличением числа Z Циолковского). Закон же расхода топлива, равно как и абсолютные значения начальной и конечной масс, не оказывают влияния на приобретенную скорость.
Путь, проходимый ракетой, зависит не только от и но и обратно пропорционален тяговооруженности, т.е. стартовому ускорению. Этот факт объясняется тем, что с увеличением, уменьшается время t работы двигателя, а следовательно, снижаются гравитационные потери скорости. В итоге это проводит к увеличению конечной скорости ракеты, движущейся в поле тяготения планеты, а, следовательно, растет и проходимый ею путь.
Основная задача ракеты – сообщить заданному полезному грузу определенную скорость. В зависимости от полезного груза и необходимой скорости назначается и запас топлива. Чем больше груз и конечная скорость, тем больший запас топлива M Т должен находиться на борту, а следовательно, тем большим сказывается стартовый вес ракеты, тем больше необходима тяга двигателя, что приводит к увеличению веса двигательной установки и веса всей конструкции ракеты в целом:
M П.Г и V К ® M Т ® М 0 ® R ® M констр. .
Из формулы Циолковского (61) следует, что увеличение конечной скорости ракеты может быть достигнуто либо увеличением эффективной скорости истечения продуктов сгорания из сопла ракетного двигателя, либо уменьшением относительной конечной массы. Реальный предел для существующих конструкций на сегодня м а максимально достижимое для химических ракетгых двигателей значение = 4400 м/с (топливо – ""водород – кислород"). Тогда:
Далее будет показано, что для выведения полезного груза на низкую круговую орбиту Земли необходима характеристическая скорость V x = 9400 м/с (необходимая фактическая скорость V факт = 7800 м/с). Разность между ними – = 1600м/с – это суммарные потери скорости, обусловленные совокупностью потерь скорости из-за отличий реальных условий полета от идеальных.
Приведенные количественные опенки свидетельствуют, что достижение первой космической скорости для создания ИСЗ Земли находится на пределе реальных возможностей одноступенчатых ракет с двигателем на химическом топливе. Такая одноступенчатая ракета уже создана в Японии – в 1986 г. с ее помощью был осуществлен запуск ИСЗ массой » 800 кг на круговую орбиту Земли. Добиться этого удалось за счет широкого применения в конструкции неметаллических и композиционных материалов, что обеспечило снижение ниже вышеуказанного предела. Однако вывод больших полезных грузов с помощью одноступенчатых ракет в ближайшем будущем не представляется возможным.
Основной недостаток одноступенчатой ракеты заключается в том, что конечная скорость сообщается не только полезному грузу, но и всей конструкции в целом. При увеличении веса конструкции это ложится дополнительным бременем на энергетику одноступенчатой ракеты, что накладывает ограничения на величину достижимой скорости.
Одна из плодотворных идей К.Э. Циолковского относится к созданию многоступенчатых ракет, способных за счет избавления от ненужной (балластной) массы освободившихся от топлива баков и других элементов конструкции значительно повысить скорость сравнительно с простой одноступенчатой ракетой.
На рис. 2.8 приведена схема трехступенчатой ракеты с так называемым поперечным делением (схема "Тандем").
| Рис. 2.8. Схема трехступенчатой ракеты |
Под СТУПЕНЬЮ многоступенчатой ракеты понимается одноступенчатая ракета, состоящая из ракетного блока (РБ) и условного полезного груза в виде оставшейся (верхней) части ракеты. Т.о., последующая i -я ступень является полезным грузом предыдущей (i – 1)-й ступени.
Вывод полезного груза с помощью многоступенчатой ракеты осуществляют следующим образом.
На старте, работает наиболее мощный двигатель первой ступени, способный поднять ракету со стартового устройства и сообщить ей определенную скорость. После того, как будет израсходовано топливо в баках первой ступени, она отбрасывается, а дальнейшее увеличение скорости достигается за счет работы двигателей следующей ступени и т.д. Теоретически процесс деления можно вести до бесконечности. Однако, на практике выбор числа ступеней следует рассматривать, как предмет поиска оптимального конструктивного варианта. Увеличение числа ступеней при заданной массе М П.Г. полезного груза ведет к уменьшению стартовой массы М 0 ракеты, но при переходе от n ступени к (n + 1)-й выигрыш с числом n уменьшается, ухудшаются весовые характеристики отдельных ракетных блоков, увеличиваются экономические затраты и снижается надежность. Продемонстрируем это на реальном числовом примере:
Таким образом, в отличие от одноступенчатой, в многоступенчатой ракете одновременно с полезным грузом заданную конечную скорость приобретает масса конструкции не всей ракеты, а только последней ступень. Массы же ракетных блоков предыдущих ступеней получают меньшие скорости, что приводит к экономия энергетических затрат.
Введем следующие обозначения:
, – соответственно текущее и конечное значения относительной массы i -й ступени;
– скорость истечения при полете i -й ступени;
, –соответственно текущее значение скорости и конечное значение, приобретенное i -й ступенью.
После того, как выработается, топливо 1-й ступени:
где – относительная конечная масса 1-й ступени;
M TI - – масса топлива в баках 1-й ступени.
Скорость полета 2-й ступени складывается из конечной скорости 1-й ступени и текущей скорости, приобретенной 2-й ступенью: . После выработки топлива 2-й ступени:
где: – относительная конечная масса 2-й ступени;
M 0 II – стартовая масса 2-й ступени;
M Т II – масса топлива в баках 2-й ступени.
Тактом образом, каждая последующая ступень дает приращение скорости. В итоге, конечная скорость многоступенчатой ракеты определится как сумма скоростей, приобретенных всеми n ступенями:
В подобном случае часто произведение приравнивают некоторому эквивалентному значению, называемому суммарной относительной массой. Тогда:
Суммарная относительная масса – это относительная конечная масса такой гипотетической одноступенчатой ракеты, которая приобретает ту же скорость, что и соответствующая многоступенчатая ракета при равных скоростях истечения по ступеням.
Типичный график набора скорости для многоступенчатой ракеты приведен на рис. 2.9. В осях m I , V I и m II , V II построены зависимости для каждой ступени в соответствии с (2.24). В осях, показана зависимость (2.26).
Рис. 2.9. График набора скорости двухступенчатой ракеты в зависимости от m I , m II ,