Здравствуйте, Дорогие друзья! Продолжаем рассматривать задания связанные с исследованием функций. Рекомендую , необходимую для решения задач на нахождение максимального (минимального) значения функции и на нахождение точек максимума (минимума) функции.

Задачи с логарифмами на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции мы . В этой статье рассмотрим три задачи, в которых стоит вопрос нахождения точек максимума (минимума) функций, при чём в заданной функции присутствует натуральный логарифм.

Теоретический момент:

По определению логарифма – выражение стоящее под знаком логарифма должно быть больше нуля. *Это обязательно нужно учитывать не только в данных задачах, но и при решении уравнений и неравенств содержащих логарифм.

Алгоритм нахождения точек максимума (минимума) функции:

1. Вычисляем производную функции.

2. Приравниваем её к нулю, решаем уравнение.

3. Полученные корни отмечаем на числовой прямой. *Также на ней отмечаем точки, в которых производная не существует. Получим интервалы, на которых функция возрастает или убывает.

4. Определяем знаки производной на этих интервалах (подставляя произвольные значения из них в производную).

5. Делаем вывод.

Найдите точку максимума функции у = ln (х–11)–5х+2

Сразу запишем, что х–11>0 (по определению логарифма), то есть х > 11.

Рассматривать функцию будем на интервале (11;∞).

Найдем нули производной:

Точка х = 11 не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси две точки 11 и 11,2. Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из интервалов (11;11,2) и (11,2;+∞) в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

Таким образом, в точке х=11,2 производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума.

Ответ: 11,2

Решите самостоятельно:

Найдите точку максимума функции у=ln (х+5)–2х+9.

Найдите точку минимума функции у=4х– ln (х+5)+8

Сразу запишем, что х+5>0 (по свойству логарифма), то есть х>–5.

Рассматривать функцию будем на интервале (– 5;+∞).

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Точка х = –5 не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси две точки –5 и –4,75 . Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из интервалов (–5;–4,75) и (–4,75;+∞) в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

Таким образом, в точке х= –4,75 производная функции меняет знак с отрицательного на положительный, значит это искомая точка минимума.

Ответ: – 4,75

Решите самостоятельно:

Найдите точку минимума функции у=2х–ln (х+3)+7.

Найдите точку максимума функции у = х 2 –34х+140lnх–10

По свойству логарифма выражение, стоящее под его знаком больше нуля, то есть х > 0.

Функцию будем рассматривать на интервале (0; +∞).

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Решая квадратное уравнение, получим: D = 9 х 1 = 10 х 2 = 7.

Точка х = 0 не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси три точки 0, 7 и 10 .

Ось ох разбивается на интервалы: (0;7), (7;10), (10; +∞).

Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из полученных интервалов в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

На этом всё. Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Что такое экстремум функции и каково необходимое условие экстремума?

Экстремумом функции называется максимум и минимум функции.

Необходимое условие максимума и минимума (экстремума) функции следующее: если функция f(x) имеет экстремум в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует.

Это условие необходимое, но не достаточное. Производная в точке х = а может обращаться в нуль, в бесконечность или не существовать без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке.

Каково достаточное условие экстремума функции (максимума или минимума)?

Первое условие:

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) положительна слева от а и отрицательна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет максимум

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) отрицательна слева от а и положительна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет минимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.

Вместо этого можно воспользоваться вторым достаточным условием экстремума функции:

Пусть в точке х = а первая производная f?(x) обращается в нуль; если при этом вторая производная f??(а) отрицательна, то функция f(x) имеет в точке x = a максимум, если положительна - то минимум.

Что такое критическая точка функции и как её найти?

Это значение аргумента функции, при котором функция имеет экстремум (т.е. максимум или минимум). Чтобы его найти, нужно найти производную функции f?(x) и, приравняв её к нулю, решить уравнение f?(x) = 0. Корни этого уравнения, а также те точки, в которых не существует производная данной функции, являются критическими точками, т. е. значениями аргумента, при которых может быть экстремум. Их можно легко определить, взглянув на график производной : нас интересуют те значения аргумента, при которых график функции пересекает ось абсцисс (ось Ох) и те, при которых график терпит разрывы.

Для примера найдём экстремум параболы .

Функция y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Производная функции: y?(x) = 6x + 2

Решаем уравнение: y?(x) = 0

6х + 2 = 0, 6х = -2, х=-2/6 = -1/3

В данном случае критическая точка - это х0=-1/3. Именно при этом значении аргумента функция имеет экстремум . Чтобы его найти , подставляем в выражение для функции вместо «х» найдённое число:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Как определить максимум и минимум функции, т.е. её наибольшее и наименьшее значения?

Если знак производной при переходе через критическую точку х0 меняется с «плюса» на «минус», то х0 есть точка максимума ; если же знак производной меняется с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума ; если знак не меняется, то в точке х0 ни максимума, ни минимума нет.

Для рассмотренного примера:

Берём произвольное значение аргумента слева от критической точки: х = -1

При х = -1 значение производной будет у?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знак - «минус»).

Теперь берём произвольное значение аргумента справа от критической точки: х = 1

При х = 1 значение производной будет у(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знак - «плюс»).

Как видим, производная при переходе через критическую точку поменяла знак с минуса на плюс. Значит, при критическом значении х0 мы имеем точку минимума.

Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале (на отрезке) находят по такой же процедуре, только с учетом того, что, возможно, не все критические точки будут лежать внутри указанного интервала. Те критические точки, которые находятся за пределом интервала, нужно исключить из рассмотрения. Если внутри интервала находится только одна критическая точка - в ней будет либо максимум, либо минимум. В этом случае для определения наибольшего и наименьшего значений функции учитываем также значения функции на концах интервала.

Например, найдём наибольшее и наименьшее значения функции

y(x) = 3sin(x) — 0,5х

на интервалах:

Итак, производная функции —

y?(x) = 3cos(x) — 0,5

Решаем уравнение 3cos(x) — 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

х = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Находим критические точки на интервале [-9; 9]:

х = arccos(0,16667) — 2π*2 = -11,163 (не входит в интервал)

х = -arccos(0,16667) — 2π*1 = -7,687

х = arccos(0,16667) — 2π*1 = -4,88

х = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

х = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

х = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

х = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

х = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входит в интервал)

Находим значения функции при критических значениях аргумента:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) — 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) — 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) — 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) — 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) — 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) — 0,5 = -0,885

Видно, что на интервале [-9; 9] наибольшее значение функция имеет при x = -4,88:

x = -4,88, у = 5,398,

а наименьшее - при х = 4,88:

x = 4,88, у = -5,398.

На интервале [-6; -3] мы имеем только одну критическую точку: х = -4,88. Значение функции при х = -4,88 равно у = 5,398.

Находим значение функции на концах интервала:

y(-6) = 3cos(-6) — 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) — 0,5 = 1,077

На интервале [-6; -3] имеем наибольшее значение функции

у = 5,398 при x = -4,88

наименьшее значение —

у = 1,077 при x = -3

Как найти точки перегиба графика функции и определить стороны выпуклости и вогнутости?

Чтобы найти все точки перегиба линии y = f(x), надо найти вторую производную, приравнять её к нулю (решить уравнение) и испытать все те значения х, для которых вторая производная равна нулю, бесконечна или не существует. Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то график функции имеет в этой точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет.

Корни уравнения f ? (x) = 0, а также возможные точки разрыва функции и второй производной разбивают область определения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом их интервалов определяется знаком второй производной. Если вторая производная в точке на исследуемом интервале положительна, то линия y = f(x) обращена здесь вогнутостью кверху, а если отрицательна - то книзу.

Как найти экстремумы функции двух переменных?

Чтобы найти экстремумы функции f(x,y), дифференцируемой в области её задания, нужно:

1) найти критические точки, а для этого — решить систему уравнений

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) для каждой критической точки Р0(a;b) исследовать, остается ли неизменным знак разности

для всех точек (х;у), достаточно близких к Р0. Если разность сохраняет положительный знак, то в точке Р0 имеем минимум, если отрицательный - то максимум. Если разность не сохраняет знака, то в точке Р0 экстремума нет.

Аналогично определяют экстремумы функции при большем числе аргументов.

Какой официальный сайт группы "Бандерос"
Сайты русскоязычных хип-хоп исполнителей: mad-a.ru — официальный сайт рэп артистки MAD-A (фотографии, музыка, биография); st1m.ru - официальный сайт рэп исполнителя St1m (музыка, видео, фото, информация о концертах, новости, форум); all1.ru - официальный сайт творческого объединен

В каких случаях инспектор ДПС имеет право останавливать ТС
Исходя из положения пункта 20 статьи 13 Закона «О полиции», инспектор ДПС имеет право останавливать транспортное средство (далее — ТС), если это необходимо для выполнения возложенных на полицию обязанностей по обеспечению безопасности дорожного движения и в др. случаях (см. полный перечень ниже). Если инспектор визуально

Как защитить трудовую книжку от умышленной потери работодателем
Чтобы защитить трудовую книжку от умышленной потери (порчи) работодателем, сотруднику предприятия рекомендуется любыми законными путями получить копию трудовой, например, используя предлог для оформления кредита, и хранить ее в надежном месте. Если недобросовестный работодатель умышленно уничтожит факты трудоустройства сотрудника на его предприятие (во избежание выявления нарушений трудового законодательства во время провед

Где в интернете найти справочную всех телефонов
Сайты «Жёлтых страниц» в интернете: yellow-pages.ru — онлайн журнал справочной информации «Yellow pages»; ypag.ru — жёлтые страницы СНГ; yellowpages.rin.ru — жёлтые стра

Сколько градусов в радиане
1 минута дуги (1′) = 60 секунд дуги (60″) 1 угловой градус (1°) = 60 минут дуги (60′) = 3600 секунд дуги (3600″) 1 радиан ≈ 57,295779513° ≈ 57°17&prim

Музыка - это вид искусства. Средством передачи настроения и чувства в музыке служат специально организованные звуки. Основными элементами и выразительными средствами музыки являются: мелодия, ритм, метр, темп, динамика, тембр, гармония, инструментовка и другие. Музыка является очень хорошим средством воспитания художественного вкуса у ребенка. Музыка способна влиять на настроение,

В каких странах проводились гран-при Формулы 1 в 2005 году
В 2005 году чемпионат мира состоял из 19 гран-при, которые проводились в следующих странах: Австралия, Малайзия, Бахрейн, Сан-Марино, Испания, Монако, Канада, США, Франция, Великобритания, Германия, Венгрия, Турция, Италия, Бельгия, Бразилия, Япония, Китай. Гран-при Европы проводился в Германии (Нюрбург).Подробнее на сайте http:/

Что такое алоказия
Алоказия (Alocasia) Семейство ароидных. Родина Южная Америка. Редкое растение любящее тепличные условия (влагу и тепло) и поэтому не получившее широкого распространения среди цветоводов. Алоказия красивое комнатное растение, с крупными стреловидно-овальными (или сердцевидными) листьями, которых бывает не более 6-7. Самые распространенные в

Что означает фраза "Этот цветочек мы уже нюхали"
Фраза «Этот цветочек мы уже нюхали» употребляется в том же значении, что и известный фразеологизм «Дважды наступить на одни и те же грабли», т.е. столкнуться с уже знакомой неприятной ситуацией. Это выражение встречается в фельетоне Ильи Ильфа «Молодые дамы» (1929) в следующе

Где найти рецепт панна котты
Панна котта (Panna cotta) — это нежнейший соблазнительный десерт из сливок и желатина, который готовят в Италии, регионе Эмилия-Романья. Дословно название десерта переводится как «вареный крем» или «вареные сливки», но по существу это кремовый пудинг без или с различными добавками.

Чему равен косинус 90 градусов
Косинус — одна из тригонометрических функций, обозначется cos. В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению катета, выходящего из этого угла (прилежащего катета), к гипотенузе.Значения косинусов для часто встречающихся углов (π — число пи, √ — корень ква

Возрастание, убывание и экстремумы функции

Нахождение интервалов возрастания, убывания и экстремумов функции является как самостоятельной задачей, так и важнейшей частью других заданий, в частности, полного исследования функции . Начальные сведения о возрастании, убывании и экстремумах функции даны в теоретической главе о производной , которую я настоятельно рекомендую к предварительному изучению (либо повторению) – ещё и по той причине, что нижеследующий материал базируется на самой сути производной, являясь гармоничным продолжением указанной статьи. Хотя, если времени в обрез, то возможна и чисто формальная отработка примеров сегодняшнего урока.

А сегодня в воздухе витает дух редкого единодушия, и я прямо чувствую, что все присутствующие горят желанием научиться исследовать функцию с помощью производной . Поэтому на экранах ваших мониторов незамедлительно появляется разумная добрая вечная терминология.

Зачем? Одна из причин самая что ни на есть практическая: чтобы было понятно, что от вас вообще требуется в той или иной задаче !

Монотонность функции. Точки экстремума и экстремумы функции

Рассмотрим некоторую функцию . Упрощённо полагаем, что она непрерывна на всей числовой прямой:

На всякий случай сразу избавимся от возможных иллюзий, особенно это касается тех читателей, кто недавно ознакомился с интервалами знакопостоянства функции . Сейчас нас НЕ ИНТЕРЕСУЕТ , как расположен график функции относительно оси (выше, ниже, где пересекает ось). Для убедительности мысленно сотрите оси и оставьте один график. Потому что интерес именно в нём.

Функция возрастает на интервале, если для любых двух точек этого интервала, связанных отношением , справедливо неравенство . То есть, бОльшему значению аргумента соответствует бОльшее значение функции, и её график идёт «снизу вверх». Демонстрационная функция растёт на интервале .

Аналогично, функция убывает на интервале, если для любых двух точек данного интервала, таких, что , справедливо неравенство . То есть, бОльшему значению аргумента соответствует мЕньшее значение функции, и её график идёт «сверху вниз». Наша функция убывает на интервалах .

Если функция возрастает или убывает на интервале, то её называют строго монотонной на данном интервале. Что такое монотонность? Понимайте в буквальном смысле – однообразие.

Также можно определить неубывающую функцию (смягчённое условие в первом определении) и невозрастающую функцию (смягчённое условие во 2-м определении). Неубывающую или невозрастающую функцию на интервале называют монотонной функцией на данном интервале (строгая монотонность – частный случай «просто» монотонности) .

Теория рассматривает и другие подходы к определению возрастания/убывания функции, в том числе на полуинтервалах, отрезках, но чтобы не выливать на вашу голову масло-масло-масляное, договоримся оперировать открытыми интервалами с категоричными определениями – это чётче, и для решения многих практических задач вполне достаточно.

Таким образом, в моих статьях за формулировкой «монотонность функции» почти всегда будут скрываться интервалы строгой монотонности (строгого возрастания или строгого убывания функции).

Окрестность точки. Слова, после которых студенты разбегаются, кто куда может, и в ужасе прячутся по углам. …Хотя после поста Пределы по Коши уже, наверное, не прячутся, а лишь слегка вздрагивают =) Не беспокойтесь, сейчас не будет доказательств теорем математического анализа – окрестности мне потребовались, чтобы строже сформулировать определения точек экстремума . Вспоминаем:

Окрестностью точки называют интервал, который содержит данную точку, при этом для удобства интервал часто полагают симметричным. Например, точка и её стандартная - окрестность:

Собственно, определения:

Точка называется точкой строгого максимума , если существует её -окрестность, для всех значений которой за исключением самой точки выполнено неравенство . В нашем конкретном примере это точка .

Точка называется точкой строгого минимума , если существует её -окрестность, для всех значений которой за исключением самой точки выполнено неравенство . На чертеже – точка «а».

Примечание : требование симметричности окрестности вовсе не обязательно. Кроме того, важен сам факт существования окрестности (хоть малюсенькой, хоть микроскопической), удовлетворяющей указанным условиям

Точки называют точками строго экстремума или просто точками экстремума функции. То есть это обобщенный термин точек максимума и точек минимума.

Как понимать слово «экстремум»? Да так же непосредственно, как и монотонность. Экстремальные точки американских горок.

Как и в случае с монотонностью, в теории имеют место и даже больше распространены нестрогие постулаты (под которые, естественно, подпадают рассмотренные строгие случаи!) :

Точка называется точкой максимума , если существует её окрестность, такая, что для всех
Точка называется точкой минимума , если существует её окрестность, такая, что для всех значений данной окрестности выполнено неравенство .

Заметьте, что согласно последним двум определениям, любая точка функции-константы (либо «ровного участка» какой-нибудь функции) считается как точкой максимума, так и точкой минимума! Функция , к слову, одновременно является и невозрастающей и неубывающей, то есть монотонной. Однако оставим сии рассуждения теоретикам, поскольку на практике мы почти всегда созерцаем традиционные «холмы» и «впадины» (см. чертёж) с уникальным «царём горы» или «принцессой болота» . Как разновидность, встречается остриё , направленное вверх либо вниз, например, минимум функции в точке .

Да, кстати, о королевских особах:
– значение называют максимумом функции;
– значение называют минимумом функции.

Общее название – экстремумы функции.

Пожалуйста, будьте аккуратны в словах!

Точки экстремума – это «иксовые» значения.
Экстремумы – «игрековые» значения.

! Примечание : иногда перечисленными терминами называют точки «икс-игрек», лежащие непосредственно на САМОМ ГРАФИКЕ функции.

Сколько может быть экстремумов у функции?

Ни одного, 1, 2, 3, … и т.д. до бесконечности. Например, у синуса бесконечно много минимумов и максимумов.

ВАЖНО! Термин «максимум функции» не тождественен термину «максимальное значение функции». Легко заметить, что значение максимально лишь в локальной окрестности, а слева вверху есть и «покруче товарищи». Аналогично, «минимум функции» – не то же самое, что «минимальное значение функции», и на чертеже мы видим, что значение минимально только на определённом участке. В этой связи точки экстремума также называют точками локального экстремума , а экстремумы – локальными экстремумами . Ходят-бродят неподалёку и глобальные собратья. Так, любая парабола имеет в своей вершине глобальный минимум или глобальный максимум . Далее я не буду различать типы экстремумов, и пояснение озвучено больше в общеобразовательных целях – добавочные прилагательные «локальный»/«глобальный» не должны заставать врасплох.

Подытожим наш небольшой экскурс в теорию контрольным выстрелом: что подразумевает задание «найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции»?

Формулировка побуждает найти:

– интервалы возрастания/убывания функции (намного реже фигурирует неубывание, невозрастание);

– точки максимума и/или точки минимума (если таковые существуют). Ну и от незачёта подальше лучше найти сами минимумы/максимумы;-)

Как всё это определить? С помощью производной функции!

Как найти интервалы возрастания, убывания,
точки экстремума и экстремумы функции?

Многие правила, по сути, уже известны и понятны из урока о смысле производной .

Производная тангенса несёт бодрую весть о том, что функция возрастает на всей области определения .

С котангенсом и его производной ситуация ровно противоположная.

Арксинус на интервале растёт – производная здесь положительна: .
При функция определена, но не дифференцируема. Однако в критической точке существует правосторонняя производная и правостороння касательная, а на другом краю – их левосторонние визави.

Думаю, вам не составит особого труда провести похожие рассуждения для арккосинуса и его производной.

Все перечисленные случаи, многие из которых представляют собой табличные производные , напоминаю, следуют непосредственно из определения производной .

Зачем исследовать функцию с помощью производной?

Чтобы лучше узнать, как выглядит график этой функции : где он идёт «снизу вверх», где «сверху вниз», где достигает минимумов максимумов (если вообще достигает). Не все функции такие простые – в большинстве случаев у нас вообще нет ни малейшего представления о графике той или иной функции.

Настала пора перейти к более содержательным примерам и рассмотреть алгоритм нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции :

Пример 1

Найти интервалы возрастания/убывания и экстремумы функции

Решение :

1) На первом шаге нужно найти область определения функции , а также взять на заметку точки разрыва (если они существуют). В данном случае функция непрерывна на всей числовой прямой, и данное действие в известной степени формально. Но в ряде случаев здесь разгораются нешуточные страсти, поэтому отнесёмся к абзацу без пренебрежения.

2) Второй пункт алгоритма обусловлен

необходимым условием экстремума:

Если в точке есть экстремум, то либо значения не существует .

Смущает концовка? Экстремум функции «модуль икс».

Условие необходимо, но не достаточно , и обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Так, из равенства ещё не следует, что функция достигает максимума или минимума в точке . Классический пример уже засветился выше – это кубическая парабола и её критическая точка .

Но как бы там ни было, необходимое условие экстремума диктует надобность в отыскании подозрительных точек. Для этого следует найти производную и решить уравнение :

В начале первой статьи о графиках функции я рассказывал, как быстро построить параболу на примере : «…берём первую производную и приравниваем ее к нулю: …Итак, решение нашего уравнения: – именно в этой точке и находится вершина параболы…». Теперь, думаю, всем понятно, почему вершина параболы находится именно в этой точке =) Вообще, следовало бы начать с похожего примера и здесь, но он уж слишком прост (даже для чайника). К тому же, аналог есть в самом конце урока о производной функции . Поэтому повысим степень:

Пример 2

Найти промежутки монотонности и экстремумы функции

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и примерный чистовой образец оформления задачи в конце урока.

Наступил долгожданный момент встречи с дробно-рациональными функциями:

Пример 3

Исследовать функцию с помощью первой производной

Обратите внимание, как вариативно можно переформулировать фактически одно и то же задание.

Решение :

1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках .

2) Детектируем критические точки. Найдём первую производную и приравняем её к нулю:

Решим уравнение . Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:

Таким образом, получаем три критические точки:

3) Откладываем на числовой прямой ВСЕ обнаруженные точки и методом интервалов определяем знаки ПРОИЗВОДНОЙ:

Напоминаю, что необходимо взять какую-нибудь точку интервала, вычислить в ней значение производной и определить её знак. Выгоднее даже не считать, а «прикинуть» устно. Возьмём, например, точку , принадлежащую интервалу , и выполним подстановку: .

Два «плюса» и один «минус» дают «минус», поэтому , а значит, производная отрицательна и на всём интервале .

Действие, как вы понимаете, нужно провести для каждого из шести интервалов. Кстати, обратите внимание, что множитель числителя и знаменатель строго положительны для любой точки любого интервала, что существенно облегчает задачу.

Итак, производная сообщила нам, что САМА ФУНКЦИЯ возрастает на и убывает на . Однотипные интервалы удобно скреплять значком объединения .

В точке функция достигает максимума:
В точке функция достигает минимума:

Подумайте, почему можно заново не пересчитывать второе значение;-)

При переходе через точку производная не меняет знак, поэтому у функции там НЕТ ЭКСТРЕМУМА – она как убывала, так и осталась убывающей.

! Повторим важный момент : точки не считаются критическими – в них функция не определена . Соответственно, здесь экстремумов не может быть в принципе (даже если производная меняет знак).

Ответ : функция возрастает на и убывает на В точке достигается максимум функции: , а в точке – минимум: .

Знание интервалов монотонности и экстремумов вкупе с установленными асимптотами даёт уже очень хорошее представление о внешнем виде графика функции. Человек среднего уровня подготовки способен устно определить, что у графика функции есть две вертикальные асимптоты и наклонная асимптота . Вот наш герой:

Постарайтесь ещё раз соотнести результаты исследования с графиком данной функции.
В критической точке экстремума нет, но существует перегиб графика (что, как правило, и бывает в похожих случаях).

Пример 4

Найти экстремумы функции

Пример 5

Найти интервалы монотонности, максимумы и минимумы функции

…прямо какой-то Праздник «икса в кубе» сегодня получается....
Тааак, кто там на галёрке предложил за это выпить? =)

В каждой задаче есть свои содержательные нюансы и технические тонкости, которые закомментированы в конце урока.

Здравствуйте! Ударим по приближающемуся ЕГЭ качественной систематической подготовкой, и упорством в измельчении гранита науки!!! В конце поста имеется конкурсная задача, будьте первым! В одной из статей данной рубрики мы с вами , в которых был дан график функции, и ставились различные вопросы, касающиеся экстремумов, промежутков возрастания (убывания) и прочие.

В этой статье рассмотрим задачи входящие в ЕГЭ по математике, в которых дан график производной функции, и ставятся следующие вопросы:

1. В какой точке заданного отрезка функция принимает наибольшее (или наименьшее) значение.

2. Найти количество точек максимума (или минимума) функции, принадлежащих заданному отрезку.

3. Найти количество точек экстремума функции, принадлежащих заданному отрезку.

4. Найти точку экстремума функции, принадлежащую заданному отрезку.

5. Найти промежутки возрастания (или убывания) функции и в ответе указать сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

6. Найти промежутки возрастания (или убывания) функции. В ответе указать длину наибольшего из этих промежутков.

7. Найти количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой вида у = kx + b или совпадает с ней.

8. Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Могут стоять и другие вопросы, но они не вызовут у вас затруднений, если вы поняли и (ссылки указаны на статьи, в которых представлена необходимая для решения информация, рекомендую повторить).

Основная информация (кратко):

1. Производная на интервалах возрастания имеет положительный знак.

Если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет положительное значение, то график функции на этом интервале возрастает.

2. На интервалах убывания производная имеет отрицательный знак.

Если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет отрицательное значение, то график функции на этом интервале убывает.

3. Производная в точке х равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой же точке.

4. В точках экстремума (максимума-минимума) функции производная равна нулю. Касательная к графику функции в этой точке параллельна оси ох.

Это нужно чётко уяснить и помнить!!!

Многих график производной «смущает». Некоторые по невнимательности принимают его за график самой функции. Поэтому в таких зданиях, где видите, что дан график, сразу же акцентируйте своё внимание в условии на том, что дано: график функции или график производной функции?

Если это график производной функции, то относитесь к нему как бы к «отражению» самой функции, которое просто даёт вам информацию об этой функции.

Рассмотрим задание:

На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–2;21).

Ответим на следующие вопросы:

1. В какой точке отрезка функция f (х) принимает наибольшее значение.

На заданном отрезке производная функции отрицательна, значит функция на этом отрезке убывает (она убывает от левой границы интервала к правой). Таким образом, наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке 7.

Ответ: 7

2. В какой точке отрезка функция f (х)

По данному графику производной можем сказать следующее. На заданном отрезке производная функции положительна, значит функция на этом отрезке возрастает (она возрастает от левой границы интервала к правой). Таким образом, наименьшее значение функции достигается на левой границе отрезка, то есть в точке х = 3.

Ответ: 3

3. Найдите количество точек максимума функции f (х)

Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. Рассмотрим, где таким образом меняется знак.

На отрезке (3;6) производная положительна, на отрезке (6;16) отрицательна.

На отрезке (16;18) производная положительна, на отрезке (18;20) отрицательна.

Таким образом, на заданном отрезке функция имеет две точки максимума х = 6 и х = 18.

Ответ: 2

4. Найдите количество точек минимума функции f (х) , принадлежащих отрезку .

Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с отрицательного на положительный. У нас на интервале (0;3) производная отрицательна, на интервале (3;4) положительна.

Таким образом, на отрезке функция имеет только одну точку минимума х = 3.

*Будьте внимательны при записи ответа – записывается количество точек, а не значение х, такую ошибку можно допустит из-за невнимательности.

Ответ: 1

5. Найдите количество точек экстремума функции f (х) , принадлежащих отрезку .

Обратите внимание, что необходимо найти количество точек экстремума (это и точки максимума и точки минимума).

Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной (с положительного на отрицательный или наоборот). На данном в условии графике это нули функции. Производная обращается в нуль в точках 3, 6, 16, 18.

Таким образом, на отрезке функция имеет 4 точки экстремума.

Ответ: 4

6. Найдите промежутки возрастания функции f (х)

Промежутки возрастания данной функции f (х) соответствуют промежуткам, на которых ее производная положительна, то есть интервалам (3;6) и (16;18). Обратите внимание, что границы интервала не входят в него (круглые скобки – границы не включены в интервал, квадратные – включены). Данные интервалы содержат целые точки 4, 5, 17. Их сумма равна: 4 + 5 + 17 = 26

Ответ: 26

7. Найдите промежутки убывания функции f (х) на заданном интервале. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Промежутки убывания функции f (х) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна. В данной задаче это интервалы (–2;3), (6;16), (18;21).

Данные интервалы содержат следующие целые точки: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Их сумма равна:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Ответ: 140

*Обращайте внимание в условии: включены ли границы в интервал или нет. Если границы будут включены, то и в рассматриваемых в процессе решения интервалах эти границы также необходимо учитывать.

8. Найдите промежутки возрастания функции f (х)

Промежутки возрастания функции f (х) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна. Мы уже указывали их: (3;6) и (16;18). Наибольшим из них является интервал (3;6), его длина равна 3.

Ответ: 3

9. Найдите промежутки убывания функции f (х) . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Промежутки убывания функции f (х) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна. Мы уже указывали их, это интервалы (–2;3), (6;16), (18;21), их длины соответственно равны 5, 10, 3.

Длина наибольшего равна 10.

Ответ: 10

10. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f (х) параллельна прямой у = 2х + 3 или совпадает с ней.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Так как касательная параллельна прямой у = 2х + 3 или совпадает с ней, то их угловые коэффициенты равны 2. Значит, необходимо найти количество точек, в которых у′(х 0) = 2. Геометрически это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой у = 2. На данном интервале таких точек 4.

Ответ: 4

11. Найдите точку экстремума функции f (х) , принадлежащую отрезку .

Точка экстремума функции это такая точка, в которой её производная равна нулю, при чём в окрестности этой точки производная меняет знак (с положительного на отрицательный или наоборот). На отрезке график производной пересекает ось абсцисс, производная меняет знак с отрицательного на положительный. Следовательно, точка х = 3 является точкой экстремума.

Ответ: 3

12. Найдите абсциссы точек, в которых касательные к графику у = f (x) параллельны оси абсцисс или совпадают с ней. В ответе укажите наибольшую из них.

Касательная к графику у = f (x) может быть параллельна оси абсцисс или совпадать с ней, только в точках, где производная равна нулю (это могут быть точки экстремума или стационарные точки, в окрестностях которых производная свой знак не меняет). По данному графику видно, что производная равна нулю в точках 3, 6, 16,18. Наибольшая равна 18.

Можно построить рассуждение таким образом:

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, её угловой коэффициент равен 0 (действительно тангенс угла в ноль градусов равен нулю). Следовательно, мы ищем точку, в которой угловой коэффициент, равен нулю, а значит, и производная равна нулю. Производная равна нулю в той точке, в которой её график пересекает ось абсцисс, а это точки 3, 6, 16,18.

Ответ: 18

На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–8;4). В какой точке отрезка [–7;–3] функция f (х) принимает наименьшее значение.

На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–7;14). Найдите количество точек максимума функции f (х) , принадлежащих отрезку [–6;9].

На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–18;6). Найдите количество точек минимума функции f (х) , принадлежащих отрезку [–13;1].

На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–11; –11). Найдите количество точек экстремума функции f (х) , принадлежащих отрезку [–10; –10].

На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–7;4). Найдите промежутки возрастания функции f (х) . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–5;7). Найдите промежутки убывания функции f (х) . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–11;3). Найдите промежутки возрастания функции f (х) . В ответе укажите длину наибольшего из них.

F На рисунке изображен график

Условие задачи то же (которую мы рассматривали). Найдите сумму трёх чисел:

1. Сумма квадратов экстремумов функции f (х).

2. Разность квадратов суммы точек максимума и суммы точек минимума функции f (х).

3. Количество касательных к f (х), параллельных прямой у = –3х + 5.

Первый, кто даст верный ответ, получит поощрительный приз – 150 рублей. Ответы пишите в комментариях. Если это ваш первый комментарий на блоге, то сразу он не появится, чуть позже (не беспокойтесь, время написания комментария регистрируется).

Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицих.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Функция и исследование ее особенностей занимает одно из ключевых глав в современной математике. Главная составляющая любой функции - это графики, изображающие не только ее свойства, но также и параметры производной данной функции. Давайте разберемся в этой непростой теме. Итак, как лучше искать точки максимума и минимума функции?

Функция: определение

Любая переменная, которая каким-то образом зависит от значений другой величины, может называться функцией. Например, функция f(x 2) является квадратичной и определяет значения для всего множества х. Допустим, что х = 9, тогда значение нашей функции будет равно 9 2 = 81.

Функции бывают самых разных видов: логические, векторные, логарифмические, тригонометрические, числовые и другие. Их изучением занимались такие выдающиеся умы, как Лакруа, Лагранж, Лейбниц и Бернулли. Их труды служат оплотом в современных способах изучения функций. Перед тем как найти точки минимума, очень важно понять сам смысл функции и ее производной.

Производная и ее роль

Все функции находятся в зависимости от их переменных величин, а это значит, что они могут в любой момент изменить свое значение. На графике это будет изображаться как кривая, которая то опускается, то поднимается по оси ординат (это все множество чисел "y" по вертикали графика). Так вот определение точки максимума и минимума функции как раз связано с этими "колебаниями". Объясним, в чем эта взаимосвязь.

Производная любой функции изображается на графике с целью изучить ее основные характеристики и вычислить, как быстро изменяется функция (т.е. меняет свое значение в зависимости от переменной "x"). В тот момент, когда функция увеличивается, график ее производной будет также возрастать, но в любую секунду функция может начать уменьшаться, и тогда график производной будет убывать. Те точки, в которых производная переходит со знака минуса на плюс, называются точками минимума. Для того чтобы знать, как найти точки минимума, следует лучше разобраться с

Как вычислять производную?

Определение и функции подразумевает под собой несколько понятий из Вообще, само определение производной можно выразить следующим образом: это та величина, которая показывает скорость изменения функции.

Математический способ ее определения для многих учеников кажется сложным, однако на самом деле все гораздо проще. Необходимо лишь следовать стандартному плану нахождения производной любой функции. Ниже описано, как можно найти точку минимума функции, не применяя правила дифференцирования и не заучивая таблицу производных.

1. Вычислить производную функции можно с помощью графика. Для этого необходимо изобразить саму функцию, затем взять на ней одну точку (точка А на рис.) Вертикально вниз провести линию к оси абсцисс (точка х 0), а в точке А провести касательную к графику функции. Ось абсцисс и касательная образуют некий угол а. Для вычисления значения того, насколько быстро возрастает функция, необходимо вычислить тангенс этого угла а.
2. Получается, что тангенс угла между касательной и направлением оси х является производной функции на маленьком участке с точкой А. Данный метод считается геометрическим способом определения производной.

Способы исследования функции

В школьной программе математики возможно нахождение точки минимума функции двумя способами. Первый метод с помощью графика мы уже разобрали, а как же определить численное значение производной? Для этого потребуется выучить несколько формул, которые описывают свойства производной и помогают преобразовать переменные величины типа "х" в числа. Следующий метод является универсальным, поэтому его можно применять практически ко всем видам функций (как к геометрическим, так и логарифмическим).

1. Необходимо приравнять функцию к функции производной, а затем упростить выражение, используя правила дифференцирования.
2. В некоторых случаях, когда дана функция, в которой переменная "х" стоит в делителе, необходимо определить область допустимых значений, исключив из нее точку "0" (по простой причине того, что в математике ни в коем случае нельзя делить на ноль).
3. После этого следует преобразовать изначальный вид функции в простое уравнение, приравняв все выражение к нулю. Например, если функция выглядела так: f(x) = 2x 3 +38x, то по правилам дифференцирования ее производная равна f"(x) = 3x 2 +1. Тогда преобразуем это выражение в уравнение следующего вида: 3x 2 +1 = 0.
4. После решения уравнения и нахождения точек "х", следует изобразить их на оси абсцисс и определить, является ли производная в этих участках между отмеченными точками положительной или отрицательной. После обозначения станет ясно, в какой точке функция начинает убывать, то есть меняет знак с минуса на противоположный. Именно таким способом можно найти как точки минимума, так и максимума.

Правила дифференцирования

Самая основная составляющая в изучении функции и ее производной - это знание правил дифференцирования. Только с их помощью можно преобразовывать громоздкие выражения и большие сложные функции. Давайте ознакомимся с ними, их достаточно много, но все они весьма просты благодаря закономерным свойствам как степенных, так и логарифмических функций.

1. Производная любой константы равна нулю (f(х) = 0). То есть производная f(х) = x 5 + х - 160 примет такой вид: f" (х) = 5x 4 +1.
2. Производная суммы двух слагаемых: (f+w)" = f"w + fw".
3. Производная логарифмической функции: (log a d)" = d/ln a*d. Эта формула применима ко всем видам логарифмов.
4. Производная степени: (x n)"= n*x n-1 . Например,(9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Производная синусоидальной функции: (sin a)" = cos a. Если sin угла а равен 0,5, то ее производная равна √3/2.

Точки экстремума

Мы уже разобрали, как найти точки минимума, однако существует понятие и функции. Если минимум обозначает те точки, в которых функция переходит со знака минуса на плюс, то точками максимума являются те точки на оси абсцисс, на которых производная функции меняется с плюса на противоположный - минус.

Находить точки максимума можно по вышеописанному способу, только следует учесть, что они обозначают те участки, на которых функция начинает убывать, то есть производная будет меньше нуля.

В математике принято обобщать оба понятия, заменяя их словосочетанием "точки экстремумов". Когда в задании просят определить эти точки, это значит, что необходимо вычислить производную данной функции и найти точки минимума и максимума.