Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Периодичность функций”; формировать навыки применения свойств периодической функции, нахождения наименьшего положительного периода функции, построения графиков периодических функций; содействовать повышению интереса к изучению математики; воспитывать наблюдательность, аккуратность.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, карточки с заданиями, слайды, часы, таблицы орнаментов, элементы народного промысла

“Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой”
А.Н. Колмогоров

Ход урока

I. Организационный этап.

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы и задач урока.

II. Проверка домашнего задания.

Домашнее задание проверяем по образцам, наиболее сложные моменты обсуждаем.

III. Обобщение и систематизация знаний.

1. Устная фронтальная работа.

Вопросы теории.

1) Сформируйте определение периода функции
2) Назовите наименьший положительный период функций y=sin(x), y=cos(x)
3). Назовите наименьший положительный период функций y=tg(x), y=ctg(x)
4) Докажите с помощью круга верность соотношений:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+180º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Как построить график периодической функции?

Устные упражнения.

1) Доказать следующие соотношения

a) sin(740º ) = sin(20º )
b) cos(54º ) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º )

2. Доказать, что угол в 540º является одним из периодов функции y= cos(2x)

3. Доказать, что угол в 360º является одним из периодов функции y=tg(x)

4. Данные выражения преобразовать так, чтобы входящие в них углы по абсолютной величине не превышали 90º .

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Где вы встречались со словами ПЕРИОД, ПЕРИОДИЧНОСТЬ?

Ответы учащихся: Период в музыке – построение, в котором изложено более или менее завершенная музыкальная мысль. Геологический период – часть эры и разделяется на эпохи с периодом от 35 до 90 млн. лет.

Период полураспада радиоактивного вещества. Периодическая дробь. Периодическая печать – печатные издания, появляющиеся в строго определенные сроки. Периодическая система Менделеева.

6. На рисунках изображены части графиков периодических функций. Определите период функции. Определить период функции.

Ответ : Т=2; Т=2; Т=4; Т=8.

7. Где в жизни вы встречались с построением повторяющихся элементов?

Ответ учащихся: Элементы орнаментов, народное творчество.

IV. Коллективное решение задач.

(Решение задач на слайдах.)

Рассмотрим один из способов исследования функции на периодичность.

При этом способе обходятся трудности, связанные с доказательством того, что тот или иной период является наименьшим, а также отпадает необходимость касаться вопросов об арифметических действиях над периодическими функциями и о периодичности сложной функции. Рассуждение опирается лишь на определение периодической функции и на такой факт: если Т – период функции, то и nT(n?0) – ее период.

Задача 1. Найдите наименьший положительный период функции f(x)=1+3{x+q>5}

Решение: Предположим, что Т-период данной функции. Тогда f(x+T)=f(x) для всех x € D(f), т.е.

1+3{x+T+0,25}=1+3{x+0,25}
{x+T+0,25}={x+0.25}

Положим x=-0,25 получим

{T}=0 <=> T=n, n € Z

Мы получили, что все периоды рассматриваемой функции (если они существуют) находятся среди целых чисел. Выберем среди этих чисел наименьшее положительное число. Это 1 . Проверим, не будет ли оно и на самом деле периодом 1 .

f(x+1) =3{x+1+0,25}+1

Так как {T+1}={T} при любом Т, то f(x+1)=3{(x+0.25)+1}+1=3{x+0,25}+1=f(x), т.е. 1 – период f. Так как 1 – наименьшее из всех целых положительных чисел, то T=1.

Задача 2. Показать, что функция f(x)=cos 2 (x) периодическая и найти её основной период.

Задача 3. Найдите основной период функции

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Допустим Т-период функции, тогда для любого х справедливо соотношение

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Если х=0, то

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Если х=-Т, то

sin0+5cos0=sin(-1,5Т)+5cos0,75(-Т)

5= – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)

sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5 – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

Сложив, получим:

10cos(0,75Т)=10

2π n, n € Z

Выберем из всех “подозрительных” на период чисел наименьшее положительное и проверим, является ли оно периодом для f. Это число

f(x+)=sin(1,5x+4π )+5cos(0,75x+2π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Значит – основной период функции f.

Задача 4. Проверим является ли периодической функция f(x)=sin(x)

Пусть Т – период функции f. Тогда для любого х

sin|x+Т|=sin|x|

Если х=0, то sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Предположим. Что при некотором n число π n является периодом

рассматриваемой функции π n>0. Тогда sin|π n+x|=sin|x|

Отсюда вытекает, что n должно быть одновременно и четным и нечетным числом, а это невозможно. Поэтому данная функция не является периодической.

Задача 5. Проверить, является ли периодической функция

f(x)=

Пусть Т – период f, тогда

, отсюда sinT=0, Т=π n, n € Z. Допустим, что при некотором n число π n действительно является периодом данной функции. Тогда и число 2π n будет периодом

Так как числители равны, то равны и их знаменатели, поэтому

Значит, функция f не периодическая.

Работа в группах.

Задания для группы 1.

Задания для группы 2.

Проверьте является ли функция f периодической и найдите ее основной период (если существует).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Задания для группы 3.

По окончании работы группы презентуют свои решения.

VI. Подведение итогов урока.

Рефлексия.

Учитель выдаёт учащимся карточки с рисунками и предлагает закрасить часть первого рисунка в соответствии с тем, в каком объёме, как им кажется, они овладели способами исследования функции на периодичность, а в части второго рисунка – в соответствии со своим вкладом в работу на уроке.

VII. Домашнее задание

1). Проверьте, является ли функция f периодической и найдите её основной период (если он существует)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Функция y=f(x) имеет период Т=2 и f(x)=x 2 +2x при х € [-2; 0]. Найдите значение выражения -2f(-3)-4f(3,5)

Литература/

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа с углубленным изучением.
2. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю.
3. Шереметьева Т.Г. , Тарасова Е.А. Алгебра и начала анализа для 10-11 классов.

Минимальный позитивный период функции в тригонометрии обозначается f. Он характеризуется наименьшим значением позитивного числа T, то есть поменьше его значение T теснее не будет являться период ом функции .

Вам понадобится

• – математический справочник.

Инструкция

1. Обратите внимание на то, что период ическая функция не неизменно имеет минимальный правильный период . Так, к примеру, в качестве период а непрерывной функции может быть безусловно всякое число, а значит, у нее может и не быть наименьшего позитивного период а. Встречаются также и непостоянные период ические функции , у которых нет наименьшего правильного период а. Впрочем в большинстве случаев минимальный правильный период у период ических функций все же есть.

2. Минимальный период синуса равен 2?. Разглядите подтверждение этого на примере функции y=sin(x). Пускай T будет произвольным период ом синуса, в таком случае sin(a+T)=sin(a) при любом значении a. Если a=?/2, получается, что sin(T+?/2)=sin(?/2)=1. Впрочем sin(x)=1 лишь в том случае, когда x=?/2+2?n, где n представляет собой целое число. Отсель следует, что T=2?n, а значит, наименьшим позитивным значением 2?n является 2?.

3. Минимальный правильный период косинуса тоже равен 2?. Разглядите подтверждение этого на примере функции y=cos(x). Если T будет произвольным период ом косинуса, то cos(a+T)=cos(a). В том случае если a=0, cos(T)=cos(0)=1. Ввиду этого, наименьшим позитивным значением T, при котором cos(x)=1, есть 2?.

4. Рассматривая тот факт, что 2? – период синуса и косинуса, это же значение будет и период ом котангенса, а также тангенса, впрочем не минимальным, от того что, как знаменито, минимальный правильный период тангенса и котангенса равен?. Удостовериться в этом сумеете, разглядев дальнейший пример: точки, соответствующие числам (х) и (х+?) на тригонометрической окружности, имеют диаметрально противоположное расположение. Расстояние от точки (х) до точки (х+2?) соответствует половине окружности. По определению тангенса и котангенса tg(x+?)=tgx, а ctg(x+?)=ctgx, а значит, минимальный правильный период котангенса и тангенса равен?.

Периодической функцией именуется функция, повторяющая свои значения через какой-то ненулевой период. Периодом функции именуется число, при добавление которого к доводу функции значение функции не меняется.

Вам понадобится

• Знания по элементарной математике и началам обзора.

Инструкция

1. Обозначим период функции f(x) через число К. Наша задача обнаружить это значение К. Для этого представим, что функция f(x), пользуясь определением периодической функции, приравняем f(x+K)=f(x).

2. Решаем полученное уравнение касательно незнакомой K, так, как словно x – константа. В зависимости от значения К получится несколько вариантов.

3. Если K>0 – то это и есть период вашей функции.Если K=0 – то функция f(x) не является периодической.Если решение уравнения f(x+K)=f(x) не существует ни при каком K не равном нулю, то такая функция именуется апериодической и у неё тоже нет периода.

Видео по теме

Обратите внимание!
Все тригонометрические функции являются периодическими, а все полиномиальные со степенью огромнее 2 – апериодическими.

Полезный совет
Периодом функции, состоящей из 2-х периодический функций, является Наименьшее всеобщее кратное периодов этих функций.

Если рассматривать точки на окружности, то точки x, x + 2π, x + 4π и т.д. совпадают друг с ином. Таким образом, тригонометрические функции на прямой периодически повторяют свое значение. Если знаменит период функции , дозволено возвести функцию на этом периоде и повторить ее на других.

Инструкция

1. Период – это число T, такое что f(x) = f(x+T). Дабы обнаружить период, решают соответствующее уравнение, подставляя в качестве довода x и x+T. При этом пользуются теснее вестимыми периодами для функций. Для функций синуса и косинуса период составляет 2π, а для тангенса и котангенса – π.

2. Пускай дана функция f(x) = sin^2(10x). Разглядите выражение sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Воспользуйтесь формулой для понижения степени: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. Тогда получите 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) либо cos 20x = cos (20x+20T). Зная, что период косинуса равен 2π, 20T = 2π. Значит, T = π/10. Т – минимальный правильный период, а функция будет повторяться и через 2Т, и через 3Т, и в иную сторону по оси: -T, -2T и т.д.

Полезный совет
Пользуйтесь формулами для понижения степени функции. Если вам теснее знамениты периоды каких-нибудь функций, пробуйте свести имеющуюся функцию к знаменитым.

Функция, значения которой повторяются через определенное число, именуется периодической . То есть сколько бы периодов вы ни прибавили к значению х, функция будет равна одному и тому же числу. Всякое изыскание периодических функций начинается с поиска наименьшего периода, дабы не исполнять лишнюю работу: довольно исследовать все свойства на отрезке, равном периоду.

Инструкция

1. Воспользуйтесь определением периодической функции . Все значения х в функции замените на (х+Т), где Т – минимальный период функции . Решите полученное уравнение, считая Т незнакомым числом.

2. В итоге вы получите некое тождество, из него испробуйте подобрать наименьший период. Скажем, если получилось равенство sin(2T)=0,5, следственно, 2Т=П/6, то есть Т=П/12.

3. Если равенство получается правильным только при Т=0 либо параметр Т зависит от х (скажем, получилось равенство 2Т=х), делайте итог о том, что функция не периодична.

4. Для того дабы узнать минимальный период функции , содержащей лишь одно тригонометрическое выражение, воспользуйтесь правилом. Если в выражении стоит sin либо cos, периодом для функции будет 2П, а для функций tg, ctg ставьте минимальный период П. Учтите при этом, что функция не должна быть возведена в какую-нибудь степень, а переменная под знаком функции не должна быть умножена на число, хорошее от 1.

5. Если cos либо sin внутри функции построены в четную степень, уменьшите период 2П в два раза. Графически вы можете увидеть это так: график функции , расположенный ниже оси ох, симметрично отразится вверх, следственно функция будет повторяться в два раза почаще.

6. Дабы обнаружить минимальный период функции при том, что угол х умножен на какое либо число, действуете так: определите типовой период этой функции (скажем, для cos это 2П). После этого поделите его на множитель перед переменной. Это и будет желанный минимальный период. Уменьшение периода отменно видно на графике: он сжимается ровно во столько раз, на сколько умножен угол под знаком тригонометрической функции .

7. Обратите внимание, если перед х стоит дробное число поменьше 1, период возрастает, то есть график, наоборот, растягивается.

8. Если в вашем выражении две периодические функции умножены друг на друга, обнаружьте минимальный период для всякой по отдельности. После этого определите минимальный всеобщий множитель для них. Скажем, для периодов П и 2/3П минимальный всеобщий множитель будет 3П (он делится без остатка как на П, так и на 2/3П).

Расчет размера средней заработной платы работников нужен для начисления пособий по временной нетрудоспособности, оплаты командировок. Средний заработок экспертов исчисляется, исходя из реально отработанного времени, и зависит от оклада, надбавок, премий, указанных в штатном расписании.

Вам понадобится

• – штатное расписание;
• – калькулятор;
• – право;
• – производственный календарь;
• – табель учета рабочего времени либо акт исполненных работ.

Инструкция

1. Для того дабы сделать расчет средней заработной платы работника, вначале определите период, за тот, что нужно ее исчислить. Как водится, таким периодом выступает 12 календарных месяцев. Но если работник трудится на предприятии менее года, к примеру, 10 месяцев, то вам необходимо обнаружить средний заработок за время, которое эксперт исполняет свою трудовую функцию.

2. Сейчас определите сумму заработной платы, которая была реально начислена ему за расчетный период. Для этого используйте расчетные ведомости, по которым работнику выдавались все положенные ему выплаты. Если немыслимо воспользоваться этими документами, то месячный оклад, премии, надбавки умножьте на 12 (либо то число месяцев, которое работник трудится на предприятии, если он оформлен в компании менее года).

3. Рассчитайте среднедневной заработок. Для этого сумму заработной платы за расчетный период поделите на среднее число дней в месяце (в текущее время оно составляет 29,4). Полученный итог поделите на 12.

4. После этого определите число реально отработанного времени. Для этого используйте табель учета рабочего времени. Данный документ должен заполнять табельщик, кадровый служащий либо другой работник, у которого это прописано в должностных обязанностях.

5. Число реально отработанного времени умножьте на среднедневной заработок. Полученная сумма является средней заработной платой эксперта за год. Итог поделите на 12. Это будет среднемесячным заработком. Такой расчет используется для работников, у которых начисление заработной платы зависит от реально отработанного времени.

6. Когда работнику установлена сдельная оплата труда, то тарифную ставку (указанную в штатном расписании и определенную трудовым договором) умножьте на число произведенных изделий (используйте акт исполненных работ либо иной документ, в котором это фиксируется).

Обратите внимание!
Не путайте функции y=cos(x) и y=sin(x) – имея идентичный период, эти функции изображаются по-различному.

Полезный совет
Для большей наглядности изобразите тригонометрическую функцию, у которой рассчитывается минимальный правильный период.

По вашим просьбам!

7. Найдите наименьший положительный период функции: y=2cos(0,2x+1).

Применим правило: если функция f периодическая и имеет период Т, то функция y=Af(kx+b) где A, k и b постоянны, а k≠0, также периодическая, причем, ее период T o = T: |k|. У нас Т=2π — это наименьший положительный период функции косинуса, k=0,2. Находим T o = 2π:0,2=20π:2=10π.

9. Расстояние от точки, равноудаленной от вершин квадрата, до его плоскости, равно 9 дм. Найдите расстояние от этой точки до сторон квадрата, если сторона квадрата равна 8 дм.

10. Решите уравнение: 10=|5x+5x 2 |.

Так как |10|=10 и |-10|=10, то возможны 2 случая: 1) 5x 2 +5x=10 и 2) 5x 2 +5x=-10. Разделим каждое из равенств на 5 и решим полученные квадратные уравнения:

1) x 2 +x-2=0, корни по теореме Виета x 1 =-2, x 2 =1 . 2) x 2 +x+2=0. Дискриминант отрицателен — корней нет.

11. Решите уравнение:

К правой части равенства применяем основное логарифмическое тождество:

Получаем равенство:

Решаем квадратное уравнение x 2 -3x-4=0 и находим корни: x 1 =-1, x 2 =4 .

13. Решить уравнение и найти сумму его корней на указанном промежутке.

22. Решить неравенство:

Тогда неравенство примет вид: tgt < 2. Построим графики уравнений: y=tgt и y=2. Выберем промежуток значений переменной t, при которых график y=tgt лежит ниже прямой у=2.

24. Прямая y=a x+b перпендикулярна прямой у=2х+3 и проходит через точку С(4; 5). Составьте ее уравнение. Прямые y=k 1 x+b 1 и y=k 2 x+b 2 взаимно перпендикулярны, если выполнено условие k 1 ∙k 2 =-1. Отсюда следует, что а ·2=-1. Искомая прямая будет иметь вид: у=(-1/2)·х+b. Значение b мы найдем, если в уравнение нашей прямой вместо х и у подставим координаты точки С.

5=(-1/2)·4+b ⇒ 5=-2+b ⇒ b=7. Тогда получим уравнение: у=(-1/2)х+7.

25. Четверо рыбаков А, В, С и D хвастались своим уловом:

1. D поймал больше С;

2. Сумма улова А и В равна сумме улова С и D;

3. А и D вместе поймали меньше, чем В и С вместе. Запишите улов рыбаков в убывающем порядке.

Имеем: 1) D>C; 2) A+B=C+D; 3) A+D2 -го равенства: А=С+D-B и подставим в 3 -е. Получим С+D-B+D2 -го равенства и также подставим в 3 -е. B=C+D-A. Тогда A+D

Инструкция

Обратите внимание на то, что период ическая не всегда имеет наименьший положительный период . Так, к примеру, в качестве период а постоянной функции может быть абсолютно любое число, а , у нее может и не быть наименьшего положительного период а. Встречаются также и непостоянные период ические функции , у которых нет наименьшего положительного период а. Однако в большинстве случаев наименьший положительный период у период ических все же есть.

Наименьший период синуса равен 2?. Рассмотрите этого на примере функции y=sin(x). Пусть T будет произвольным период ом синуса, в таком случае sin(a+T)=sin(a) при любом значении a. Если a=?/2, получается, что sin(T+?/2)=sin(?/2)=1. Однако sin(x)=1 лишь в том случае, когда x=?/2+2?n, где n представляет собой целое число. Отсюда следует, что T=2?n, а значит, наименьшим положительным значением 2?n 2?.

Наименьший положительный период косинуса тоже равен 2?. Рассмотрите доказательство этого на примере функции y=cos(x). Если T будет произвольным период ом косинуса, то cos(a+T)=cos(a). В том случае если a=0, cos(T)=cos(0)=1. Ввиду этого, наименьшим положительным значением T, при котором cos(x)=1, есть 2?.

Учитывая тот факт, что 2? – период синуса и косинуса, это же будет и период ом котангенса, а также тангенса, однако не минимальным, поскольку, как , наименьший положительный период тангенса и котангенса равен?. Убедиться в этом сможете, рассмотрев следующий : точки, соответствующие (х) и (х+?) на тригонометрической окружности, имеют диаметрально противоположное расположение. Расстояние от точки (х) до точки (х+2?) соответствует половине окружности. По определению тангенса и котангенса tg(x+?)=tgx, а ctg(x+?)=ctgx, а значит, наименьший положительный период котангенса и ?.

Обратите внимание

Не путайте функции y=cos(x) и y=sin(x) - имея одинаковый период, эти функции изображаются по-разному.

Полезный совет

Для большей наглядности изобразите тригонометрическую функцию, у которой рассчитывается наименьший положительный период.

Источники:

• Справочник по математике, школьная математика, высшая математика

Периодической функцией называется функция, повторяющая свои значения через какой-то ненулевой период. Периодом функции называется число, при добавление которого к аргументу функции значение функции не меняется.

Вам понадобится

• Знания по элементарной математике и началам анализа.

Инструкция

Видео по теме

Обратите внимание

Все тригонометрические функции являются периодическими, а все полиномиальные со степенью больше 2 - апериодическими.

Полезный совет

Периодом функции, состоящей из двух периодический функций, является Наименьшее общее кратное периодов этих функций.

Если рассматривать точки на окружности, то точки x, x + 2π, x + 4π и т.д. совпадают друг с другом. Таким образом, тригонометрические функции на прямой периодически повторяют свое значение. Если известен период функции , можно построить функцию на этом периоде и повторить ее на других.

Инструкция

Пусть дана функция f(x) = sin^2(10x). Рассмотрите sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Воспользуйтесь формулой для понижения : sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Тогда получите 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) или cos 20x = cos (20x+20T). Зная, что период косинуса равен 2π, 20T = 2π. Значит, T = π/10. Т - наименьший период, а функция будет повторяться и через 2Т, и через 3Т, и в сторону по оси: -T, -2T и т.д.

Полезный совет

Пользуйтесь формулами для понижения степени функции. Если вам уже известны периоды каких-либо функций, пробуйте свести имеющуюся функцию к известным.

Функция, значения которой повторяются через определенное число, называется периодической . То есть сколько бы периодов вы ни прибавили к значению х, функция будет равна одному и тому же числу. Любое исследование периодических функций начинается с поиска наименьшего периода, чтобы не выполнять лишнюю работу: достаточно изучить все свойства на отрезке, равном периоду.

Инструкция

В результате вы получите некое тождество, из него попробуйте подобрать минимальный период. Например, если получилось равенство sin(2T)=0,5, следовательно, 2Т=П/6, то есть Т=П/12.

Если равенство получается верным только при Т=0 или параметр Т зависит от х (например, получилось равенство 2Т=х), делайте о том, что функция не периодична.

Для того чтобы узнать наименьший период функции , содержащей лишь одно тригонометрическое выражение, воспользуйтесь . Если в выражении стоит sin или cos, периодом для функции будет 2П, а для функций tg, ctg ставьте наименьший период П. Учтите при этом, что функция не должна быть возведена в какую-либо степень, а переменная под знаком функции не должна быть умножена на число, отличное от 1.

Если cos или sin внутри функции возведены в четную степень, уменьшите период 2П в два раза. Графически вы можете увидеть это так: функции , ниже оси ох, симметрично отразится вверх, поэтому функция будет повторяться в два раза чаще.

Чтобы найти наименьший период функции при том, что угол х умножен на какое либо число, действуете так: определите стандартный период этой функции (например, для cos это 2П). Затем разделите его перед переменной. Это и будет искомый наименьший период. Уменьшение периода хорошо видно на графике: он ровно во столько раз, на сколько умножен угол под знаком тригонометрической функции .

Если в вашем выражении две периодические функции умножены друг на друга, найдите наименьший период для каждой по отдельности. Затем определите наименьший общий множитель для них. Например, для периодов П и 2/3П наименьший общий множитель будет 3П (он без остатка как на П, так и на 2/3П).

Расчет размера средней заработной платы сотрудников необходим для начисления пособий по временной нетрудоспособности, оплаты командировок. Средний заработок специалистов исчисляется, исходя из фактически отработанного времени, и зависит от оклада, надбавок, премий, указанных в штатном расписании.